La valeur qui résume le mieux trois mesures

La valeur qui résume le mieux trois mesures.

Trois relevés d'un capteur donnent $2$, $5$ et $11$. On cherche le nombre $m$ qui « résume » le mieux ces mesures, au sens où il rend minimale la somme des carrés des écarts :

$$S(m)=(m-2{)}^2+(m-5{)}^2+(m-11{)}^2.$$

• Calculer $S^{\prime }(m)$ en utilisant la dérivée de $u^2$.
• En déduire la valeur de $m$ qui minimise $S$, ainsi que le minimum. Reconnaître cette valeur de $m$.
• Montrer plus généralement que, pour $n$ mesures $x_1,\dots ,x_n$, la fonction $S(m)=(m-x_1{)}^2+\cdots +(m-x_n{)}^2$ est minimale en la moyenne $\bar{x}$ de ces mesures.