Le budget publicitaire (économie)

Le budget publicitaire (économie).

Une entreprise consacre $x$ milliers d'euros à une campagne publicitaire, avec $0\le x\le 60$. Le bénéfice qu'elle en retire, en milliers d'euros, est modélisé par

$$B(x)=40\ln (x+1)-2x.$$

• Calculer $B^{\prime }(x)$ et l'écrire sous la forme d'un seul quotient.
• Dresser le tableau de variation de $B$ sur $[0;60]$, avec la valeur exacte du maximum.
• Combien de solutions l'équation $B(x)=60$ admet-elle sur $[0;60]$ ? Justifier.
• Encadrer chaque solution entre deux entiers consécutifs.
• Pour quels budgets le bénéfice atteint-il au moins $60$ milliers d'euros ?