Problème — Coût moyen, coût marginal

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 4 — Compléments sur la dérivation

Énoncé

Problème — Coût moyen, coût marginal.

Un atelier produit $x$ centaines de pièces par jour, avec $0 < x \leq 8$ . Son coût total quotidien, exprimé en centaines d'euros, est

$C (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 20 x + 32.$

Le coût moyen par pièce, en euros, est alors $M (x) = \frac{C ( x )}{x}$ , et le coût marginal — le coût de la pièce suivante, en euros — est $C^{'} (x)$ .

Montrer que le coût total est croissant sur $] 0; 8]$ .
Que représente $C (0) = 32$ ? Pourquoi le coût moyen devient-il énorme quand la production est minuscule ?
Calculer $M^{'} (x)$ et la factoriser. Dresser le tableau de variation de $M$ .
En déduire la production la plus efficace et le coût moyen minimal.
Vérifier que $C^{'} (4) = M (4)$ , puis démontrer que cette coïncidence n'en est pas une : au minimum du coût moyen, coût marginal et coût moyen sont toujours égaux.

Corrigé

Coût croissant. $C^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 20$ , trinôme de discriminant

$Δ = (- 12)^{2} - 4 \times 3 \times 20 = 144 - 240 = - 96 < 0.$

Sans racine réelle et de coefficient dominant positif, $C^{'}$ est strictement positive : $C$ croît. Produire plus coûte toujours plus — le coût marginal ne s'annule jamais.

Frais fixes. $C (0) = 32$ , soit $3200$ euros par jour à payer même sans produire (loyer, machines). Dans $M (x) = x^{2} - 6 x + 20 + \frac{32}{x}$ , ce sont ces frais fixes qui, divisés par une production minuscule, font exploser le coût moyen.
Dérivée du coût moyen.

$M (x) = x^{2} - 6 x + 20 + \frac{32}{x} ⟹ M^{'} (x) = 2 x - 6 - \frac{32}{x ^{2}} = \frac{2 x ^{3} - 6 x ^{2} - 32}{x ^{2}} .$

On factorise le numérateur, dont $4$ est racine évidente :

$M^{'} (x) = \frac{2 ( x - 4 ) ( x ^{2} + x + 4 )}{x ^{2}} .$

Le trinôme $x^{2} + x + 4$ a pour discriminant $1 - 16 = - 15 < 0$ : il est toujours strictement positif. Comme $x^{2} > 0$ , le signe de $M^{'}$ est celui de $x - 4$ .

$x M^{'} (x) M 0 - ↘ 4020 + ↗ 840$

Production efficace. Le coût moyen est minimal pour $x = 4$ , c'est-à-dire $400$ pièces par jour, et vaut alors

$M (4) = \frac{64 - 96 + 80 + 32}{4} = \frac{80}{4} = 20 euros par pi e ˋ ce.$

Une égalité qui n'est pas fortuite. D'une part $C^{'} (4) = 48 - 48 + 20 = 20$ , et d'autre part $M (4) = 20$ . Ce n'est pas un hasard : en dérivant le quotient $M = C / x$ ,

$M^{'} (x) = \frac{C ^{'} ( x ) x - C ( x )}{x ^{2}},$

de sorte que

$M^{'} (x) = 0 ⟺ C^{'} (x) x = C (x) ⟺ C^{'} (x) = \frac{C ( x )}{x} = M (x) .$

Là où le coût moyen est minimal, il est égal au coût marginal — et la figure le montre : tant qu'une pièce de plus coûte moins que la moyenne, elle tire la moyenne vers le bas ; dès qu'elle coûte plus, elle la remonte.

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