Problème — Coût moyen, coût marginal

• Coût croissant. $C^{\prime }(x)=3x^2-12x+20$, trinôme de discriminant

$$\Delta =(-12{)}^2-4\times 3\times 20=144-240=-96<0.$$

Sans racine réelle et de coefficient dominant positif, $C^{\prime }$ est strictement positive : $C$ croît. Produire plus coûte toujours plus — le coût marginal ne s'annule jamais.

• Frais fixes. $C(0)=32$, soit $3200$ euros par jour à payer même sans produire (loyer, machines). Dans $M(x)=x^2-6x+20+\frac{32}{x}$, ce sont ces frais fixes qui, divisés par une production minuscule, font exploser le coût moyen.
• Dérivée du coût moyen.

$$M(x)=x^2-6x+20+\frac{32}{x}⟹M^{\prime }(x)=2x-6-\frac{32}{x^2}=\frac{2x^3-6x^2-32}{x^2}.$$

On factorise le numérateur, dont $4$ est racine évidente :

$$M^{\prime }(x)=\frac{2(x-4)(x^2+x+4)}{x^2}.$$

Le trinôme $x^2+x+4$ a pour discriminant $1-16=-15<0$ : il est toujours strictement positif. Comme $x^2>0$, le signe de $M^{\prime }$ est celui de $x-4$.

$$\begin{array}{cccccc}x& 0& & 4& & 8\\ M^{\prime }(x)& & -& 0& +& \\ M& & \searrow & 20& \nearrow & 40\end{array}$$

• Production efficace. Le coût moyen est minimal pour $x=4$, c'est-à-dire $400$ pièces par jour, et vaut alors

$$M(4)=\frac{64-96+80+32}{4}=\frac{80}{4}=20\text{ euros par pieˋce.}$$

• Une égalité qui n'est pas fortuite. D'une part $C^{\prime }(4)=48-48+20=20$, et d'autre part $M(4)=20$. Ce n'est pas un hasard : en dérivant le quotient $M=C/x$,

$$M^{\prime }(x)=\frac{C^{\prime }(x)x-C(x)}{x^2},$$

de sorte que

$$M^{\prime }(x)=0⟺C^{\prime }(x)x=C(x)⟺C^{\prime }(x)=\frac{C(x)}{x}=M(x).$$

Là où le coût moyen est minimal, il est égal au coût marginal — et la figure le montre : tant qu'une pièce de plus coûte moins que la moyenne, elle tire la moyenne vers le bas ; dès qu'elle coûte plus, elle la remonte.