Quatre dérivées à la chaîne — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 4)

Quatre dérivées à la chaîne

Compléments sur la dérivation · niveau 1 (application)

Énoncé

Quatre dérivées à la chaîne.

Dériver, sur leur ensemble de définition, les quatre fonctions

$a (x) = e^{- 0, 5 x + 2}, b (x) = (3 x^{2} - 1)^{2}, c (x) = ln (x^{2} + 4), d (x) = 2 x + 7 .$

$a$ est de la forme $e^{u}$ : ici $u (x) = - 0, 5 x + 2$ , donc $u^{'} (x) = - 0, 5$ et

$a^{'} (x) = u^{'} (x) e^{u (x)} = - 0, 5 e^{- 0, 5 x + 2} .$

$b$ est de la forme $u^{2}$ : ici $u (x) = 3 x^{2} - 1$ , donc $u^{'} (x) = 6 x$ et

$b^{'} (x) = 2 u^{'} (x) u (x) = 2 \times 6 x \times (3 x^{2} - 1) = 12 x (3 x^{2} - 1) .$

$c$ est de la forme $ln u$ : ici $u (x) = x^{2} + 4$ , qui est strictement positif sur $R$ tout entier — la condition $u > 0$ est donc remplie. Avec $u^{'} (x) = 2 x$ :

$c^{'} (x) = \frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )} = \frac{2 x}{x ^{2} + 4} .$

$d$ est de la forme $f (a x + b)$ avec $f : X \mapsto X$ , $a = 2$ et $b = 7$ . Comme $f^{'} (X) = \frac{1}{2 X}$ , la formule $(f (a x + b))^{'} = a f^{'} (a x + b)$ donne, pour $x > - 3, 5$ :

$d^{'} (x) = 2 \times \frac{1}{2 2 x + 7} = \frac{1}{2 x + 7} .$

Dans les quatre cas le facteur $u^{'}$ (ou $a$ ) est apparu : c'est lui qu'on oublie.