Sensation et intensité (loi de Fechner) — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 4)

Sensation et intensité (loi de Fechner)

Compléments sur la dérivation · niveau 1 (application)

Énoncé

Sensation et intensité (loi de Fechner).

En psychophysique, la sensation perçue croît comme le logarithme de l'intensité du stimulus. On retient le modèle

$S (I) = 12 ln (1 + 0, 02 I), I \geq 0,$

où $I$ est l'intensité physique et $S$ la sensation ressentie, en unités arbitraires.

Justifier que $S$ est définie et dérivable sur $[0; + \infty [$ , puis calculer $S^{'} (I)$ .
Comparer $S^{'} (10)$ et $S^{'} (100)$ .
Une même augmentation de $10$ unités d'intensité produit-elle la même augmentation de sensation selon qu'on part de $I = 10$ ou de $I = 100$ ?

Corrigé

Domaine : $u (I) = 1 + 0, 02 I \geq 1 > 0$ pour tout $I \geq 0$ , donc $ln u$ est bien définie et dérivable. Avec $u^{'} (I) = 0, 02$ :

$S^{'} (I) = 12 \times \frac{u ^{'} ( I )}{u ( I )} = \frac{0 , 24}{1 + 0 , 02 I} = \frac{12}{I + 50} .$

Deux sensibilités :

$S^{'} (10) = \frac{0 , 24}{1 , 2} = 0, 2 et S^{'} (100) = \frac{0 , 24}{3} = 0, 08.$

La sensibilité est $2, 5$ fois plus grande sur fond faible.

Deux accroissements :

$S (20) - S (10) = 12 ln \frac{1 , 4}{1 , 2} \approx 1, 85, S (110) - S (100) = 12 ln \frac{3 , 2}{3} \approx 0, 77.$

Non : le même supplément physique se fait deux fois moins sentir sur fond fort. C'est exactement ce que traduit la décroissance de $S^{'}$ — et c'est pourquoi les échelles de bruit ou de luminosité sont logarithmiques.