Un pic de pollen (santé publique)

Un pic de pollen (santé publique).

Au printemps, la concentration de pollen dans l'air d'une ville, en grains par m${}^3$, est modélisée au cours d'une journée par

$$N(t)=80e^{-0,5(t-3{)}^2},0\le t\le 8,$$

où $t$ est le temps en heures écoulé depuis $10$ h.

• Calculer $N^{\prime }(t)$ et dresser le tableau de variation de $N$ sur $[0;8]$.
• À quelle heure le pic a-t-il lieu ? Quelle est sa valeur ?
• Résoudre exactement l'inéquation $N(t)\ge 40$.
• Pendant combien de temps (à la minute près) la concentration dépasse-t-elle la moitié du pic ? Entre quelles heures ?