Une dérivée qui s'annule sans changer de signe

Une dérivée qui s'annule sans changer de signe.

On considère $f(x)=x-\ln (1+x^2)$ sur $[0;5]$.

• Calculer $f^{\prime }(x)$ et montrer que $f^{\prime }(x)=\frac{(x-1{)}^2}{1+x^2}$.
• En déduire le sens de variation de $f$. La fonction a-t-elle un extremum en $1$ ?
• Montrer que l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0;5]$.
• Encadrer $\alpha$ par balayage, au pas $1$ puis au pas $0,1$.