Une même courbe, étirée (pharmacologie)

Une même courbe, étirée (pharmacologie).

On connaît bien la fonction $f(x)=x{e}^{-x}$, définie sur $[0;+\infty [$.

• Calculer $f^{\prime }(x)$ et montrer que $f$ admet un maximum en $1$, égal à $\frac{1}{e}$.
• La concentration d'un médicament, en mg/L, est modélisée au bout de $t$ heures par $C(t)=1,5t{e}^{-0,5t}$. Vérifier que $C(t)=3f(0,5t)$.
• En utilisant la dérivée de $x\mapsto f(ax+b)$, calculer $C^{\prime }(t)$, et en déduire, sans nouvelle étude de signe, l'instant du pic et la concentration maximale.
• Interpréter géométriquement le passage de la courbe de $f$ à celle de $C$.