Convexité et point d'inflexion d'une cubique — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 5)

Convexité et point d'inflexion d'une cubique

Convexité · niveau 1 (application)

Énoncé

Convexité et point d'inflexion d'une cubique.

Soit $f$ définie sur $R$ par $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2$ .

Calculer $f^{'}$ puis $f^{''}$ .
Étudier le signe de $f^{''}$ et en déduire les intervalles de convexité de $f$ .
Déterminer les coordonnées du point d'inflexion.

Corrigé

Dérivées :

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 puis f^{''} (x) = 6 x - 12 = 6 (x - 2)$

Signe de $f^{''}$ : $f^{''} (x) < 0$ pour $x < 2$ et $f^{''} (x) > 0$ pour $x > 2$ . D'après la caractérisation admise du cours, $f$ est donc concave sur $] - \infty; 2]$ et convexe sur $[2; + \infty [$ .
Point d'inflexion : $f^{''}$ s'annule en $2$ en changeant de signe, donc la courbe y admet un point d'inflexion. Son ordonnée vaut

$f (2) = 8 - 24 + 18 + 2 = 4$

Le point d'inflexion est $I (2; 4)$ .

Remarquons que $f^{'} (2) = 12 - 24 + 9 = - 3 \neq = 0$ : en $I$ , la fonction est décroissante. Un point d'inflexion n'est pas un extremum — c'est la manière de tourner qui change, pas le sens de variation.