L'inégalité $e^{x} \geq x + 1$

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 5 — Convexité

Énoncé

L'inégalité $e^{x} \geq x + 1$ .

Justifier que la fonction exponentielle est convexe sur $R$ .
Déterminer l'équation de sa tangente au point d'abscisse $0$ .
En déduire que $e^{x} \geq x + 1$ pour tout réel $x$ , avec égalité seulement en $0$ .
Un capital placé au taux annuel $r > 0$ à intérêts continus est multiplié par $e^{r t}$ au bout de $t$ années, contre $1 + r t$ à intérêts simples. Comparer les deux placements, puis traiter le cas $r = 0, 04$ et $t = 10$ .

Corrigé

Convexité : pour $f (x) = e^{x}$ , on a $f^{'} (x) = e^{x}$ puis $f^{''} (x) = e^{x} > 0$ sur $R$ . La fonction exponentielle est donc convexe.
Tangente en $0$ : $f (0) = 1$ et $f^{'} (0) = 1$ , d'où

$y = 1 + 1 \times (x - 0) = x + 1$

Inégalité : d'après la caractérisation admise, la courbe d'une fonction convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes. Donc, pour tout réel $x$ ,

$e^{x} \geq x + 1$

Pour le cas d'égalité, posons $φ (x) = e^{x} - x - 1$ . Alors $φ^{'} (x) = e^{x} - 1$ , qui est négative pour $x < 0$ et positive pour $x > 0$ : $φ$ décroît puis croît, et son minimum vaut $φ (0) = 0$ . L'égalité n'a donc lieu qu'en $x = 0$ .

Placement : en appliquant l'inégalité à $x = r t$ , on obtient $e^{r t} \geq 1 + r t$ : la capitalisation continue rapporte toujours au moins autant que les intérêts simples. Pour $r = 0, 04$ et $t = 10$ :

$e^{0, 4} \approx 1, 492 contre 1 + 0, 4 = 1, 4$

soit près de $9$ points de pourcentage d'écart. Cet écart ne cesse de croître avec la durée : c'est exactement ce que dit la convexité de l'exponentielle.

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L'inégalité ex≥x+1

Énoncé

Corrigé

L'inégalité $e^{x} \geq x + 1$