L'inégalité $\ln x\le x-1$ et la « règle des 70 »

• Concavité et tangente : pour $g(x)=\ln x$, on a $g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ puis $g^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{x^2}<0$ : $\ln$ est concave. En $x=1$ : $g(1)=0$ et $g^{\prime }(1)=1$, d'où la tangente $y=x-1$.
• Inégalité : la courbe d'une fonction concave est sous chacune de ses tangentes (caractérisation admise), donc $\ln x\le x-1$ pour tout $x>0$. En appliquant cela à $x=1+r>0$ :

$$\ln (1+r)\le r$$

• Minoration du temps de doublement : pour $r>0$ on a $0<\ln (1+r)\le r$, donc en passant aux inverses (qui renverse l'inégalité entre nombres strictement positifs) :

$$\frac{1}{\ln (1+r)}\ge \frac{1}{r}\text{puis}T=\frac{\ln 2}{\ln (1+r)}\ge \frac{\ln 2}{r}$$

• Cas $p=5$, c'est-à-dire $r=0,05$ :

$$\frac{\ln 2}{r}\approx 13,86T=\frac{\ln 2}{\ln (1,05)}\approx 14,21\frac{70}{5}=14$$

La minoration issue de la concavité donne $13,86$ ans, la valeur exacte est $14,21$ ans : la règle des 70 tombe entre les deux, à deux dixièmes d'année près.

La « règle des 70 » n'est rien d'autre qu'une lecture de la concavité du logarithme : $100\times \ln 2\approx 69,3$, arrondi à $70$ pour la commodité du calcul mental.