Lire la convexité sur les variations de $f^{\prime }$

• Traduction : « $f^{\prime }$ croissante » signifie exactement « $f$ convexe », et « $f^{\prime }$ décroissante » signifie « $f$ concave ». Donc $f$ est concave sur $]-\infty ;-1]$, convexe sur $[-1;3]$, concave sur $[3;+\infty [$.
• Points d'inflexion : la convexité change en $-1$ et en $3$. La courbe admet donc deux points d'inflexion, d'abscisses $-1$ et $3$ — les deux seuls endroits où la tangente traverse la courbe.
• Valeurs de $f^{\prime \prime }$ : $f^{\prime }$ admet un minimum en $-1$ et un maximum en $3$. Comme $f^{\prime }$ est dérivable, sa dérivée s'y annule :

$$f^{\prime \prime }(-1)=0\text{et}{f}^{\prime \prime }(3)=0$$

• Non : on connaît les variations de $f^{\prime }$, pas son signe. Or ce sont les variations de $f$ qui se lisent sur le signe de $f^{\prime }$. Une fonction peut parfaitement être convexe et décroissante.

Le tableau du signe de $f^{\prime }$ donne les variations de $f$ ; le tableau du signe de $f^{\prime \prime }$ donne sa convexité. Ce sont deux lectures indépendantes.