Placer un point d'inflexion — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 5)

Placer un point d'inflexion

Convexité · niveau 1 (application)

Énoncé

Placer un point d'inflexion.

Pour un réel $a$ , on note $f_{a}$ la fonction définie sur $R$ par $f_{a} (x) = x^{3} + a x^{2} + 3 x - 1$ .

Calculer $f_{a}^{''} (x)$ .
Déterminer $a$ pour que la courbe de $f_{a}$ admette un point d'inflexion d'abscisse $2$ .
Vérifier que le changement de signe a bien lieu.
Donner les coordonnées de ce point et l'équation de la tangente en ce point.

Corrigé

Dérivée seconde :

$f_{a}^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + 3 puis f_{a}^{''} (x) = 6 x + 2 a$

Condition nécessaire : un point d'inflexion en $2$ impose $f_{a}^{''} (2) = 0$ :

$12 + 2 a = 0 ⟺ a = - 6$

Changement de signe : avec $a = - 6$ , on a $f^{''} (x) = 6 x - 12 = 6 (x - 2)$ , fonction affine strictement croissante : elle est négative avant $2$ et positive après. Le changement de signe a bien lieu, il y a donc réellement un point d'inflexion.
Point et tangente : $f (2) = 8 - 24 + 6 - 1 = - 11$ et $f^{'} (2) = 12 - 24 + 3 = - 9$ , d'où le point $I (2; - 11)$ et

$y = - 11 - 9 (x - 2) = - 9 x + 7$

L'annulation de $f^{''}$ ne donne qu'un candidat : on n'a le droit de conclure qu'après avoir contrôlé le changement de signe — la dérivée seconde $12 (x - 1)^{2}$ rencontrée plus haut, qui s'annule en restant positive, rappelle pourquoi.