mathématiques complémentaires (terminale) · Chapitre 5 · Application directe du cours

Problème — La concentration d'un médicament dans le sang

Convexité · niveau 2

Énoncé

Problème — La concentration d'un médicament dans le sang.

Après une injection à l'instant $t = 0$ , la concentration d'un principe actif dans le sang, en milligrammes par litre, est modélisée pour $t \geq 0$ (en heures) par

$C (t) = 4 t e^{- 0, 5 t} .$

On admet que $C (t)$ tend vers $0$ quand $t$ tend vers $+ \infty$ (croissance comparée).

Montrer que $C^{'} (t) = (4 - 2 t) e^{- 0, 5 t}$ , puis déterminer la concentration maximale et l'instant où elle est atteinte.
Montrer que $C^{''} (t) = (t - 4) e^{- 0, 5 t}$ et étudier la convexité de $C$ .
Donner les coordonnées du point d'inflexion.
Calculer $C^{'} (4)$ et interpréter ce nombre pour le patient.
Le médicament est actif tant que $C (t) \geq 2$ mg/L. Encadrer au dixième d'heure les deux instants où $C (t) = 2$ , puis estimer la durée d'efficacité.

Corrigé

Dérivée et maximum : $C$ est le produit de $u (t) = 4 t$ par $v (t) = e^{- 0, 5 t}$ , avec $u^{'} (t) = 4$ et $v^{'} (t) = - 0, 5 e^{- 0, 5 t}$ :

$C^{'} (t) = 4 e^{- 0, 5 t} + 4 t \times (- 0, 5 e^{- 0, 5 t}) = (4 - 2 t) e^{- 0, 5 t}$

L'exponentielle est strictement positive, donc $C^{'}$ a le signe de $4 - 2 t$ : positive sur $[0; 2 [$ , négative sur $] 2; + \infty [$ . La concentration croît puis décroît, avec un maximum en $t = 2$ :

$C (2) = 8 e^{- 1} \approx 2, 94 mg/L$

Dérivée seconde : $C^{'}$ est encore un produit, de $4 - 2 t$ par $e^{- 0, 5 t}$ :

$C^{''} (t) = - 2 e^{- 0, 5 t} + (4 - 2 t) \times (- 0, 5 e^{- 0, 5 t}) = (- 2 - 2 + t) e^{- 0, 5 t} = (t - 4) e^{- 0, 5 t}$

Elle a le signe de $t - 4$ : $C$ est concave sur $[0; 4]$ et convexe sur $[4; + \infty [$ .

Point d'inflexion : $C^{''}$ s'annule en $4$ en changeant de signe, donc la courbe admet le point d'inflexion

$I (4; 16 e^{- 2}) \approx (4; 2, 17)$

Vitesse d'élimination :

$C^{'} (4) = (4 - 8) e^{- 2} = - 4 e^{- 2} \approx - 0, 54 mg/L par heure$

Un point d'inflexion de $C$ est un extremum de $C^{'}$ : ici, $C^{'}$ atteint son minimum en $t = 4$ . C'est donc l'instant où la concentration chute le plus vite. Au-delà, elle continue de baisser, mais de moins en moins vite — c'est la longue traîne d'élimination bien connue des pharmacologues.

Fenêtre d'efficacité : sur $[0; 2]$ , $C$ est continue et strictement croissante de $0$ à $2, 94$ : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $C (t) = 2$ y admet une unique solution $t_{1}$ . Un balayage au dixième donne

$C (0, 7) \approx 1, 973 < 2 et C (0, 8) \approx 2, 145 > 2 donc t_{1} \in [0, 7; 0, 8]$

Sur $[2; + \infty [$ , $C$ est continue et strictement décroissante de $2, 94$ vers $0$ : unique solution $t_{2}$ , et

$C (4, 3) \approx 2, 004 > 2 et C (4, 4) \approx 1, 950 < 2 donc t_{2} \in [4, 3; 4, 4]$

La durée d'efficacité $t_{2} - t_{1}$ est donc comprise entre $3, 5$ et $3, 7$ heures : il faut réinjecter environ toutes les trois heures et demie.

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