Problème — La loi des rendements décroissants

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 5 — Convexité

Énoncé

Problème — La loi des rendements décroissants.

Un agronome mesure le rendement en blé d'une parcelle en fonction de la dose d'azote apportée. Pour $x$ kilogrammes d'azote par hectare, avec $0 \leq x \leq 250$ , le rendement, en quintaux par hectare, est modélisé par

$R (x) = \frac{80 x}{x + 40} .$

Calculer $R (0)$ , $R (40)$ , $R (80)$ et $R (160)$ . Que devient $R (x)$ pour de très grandes doses ?
Montrer que $R^{'} (x) = \frac{3200}{( x + 40 ) ^{2}}$ et en déduire le sens de variation de $R$ .
Calculer $R^{''} (x)$ et étudier la convexité de $R$ . Qu'exprime-t-elle ?
Comparer $R (40) - R (0)$ , $R (80) - R (40)$ et $R (120) - R (80)$ .
Le quintal de blé se vend $25$ €, le kilogramme d'azote coûte $2$ €. Un kilogramme supplémentaire est rentable tant que $25 R^{'} (x) \geq 2$ . Déterminer la dose optimale et le rendement correspondant.
Pourquoi la concavité garantit-elle l'existence de cette dose optimale ?

Corrigé

Quelques valeurs :

$R (0) = 0, R (40) = \frac{3200}{80} = 40, R (80) = \frac{6400}{120} = \frac{160}{3} \approx 53, 3, R (160) = \frac{12 800}{200} = 64$

En écrivant $R (x) = \frac{80}{1 + \frac{40}{x}}$ , on voit que $R (x)$ tend vers $80$ quand $x$ devient grand : le rendement plafonne à $80$ quintaux par hectare, quelle que soit la quantité d'engrais.

Rendement marginal : $R$ est un quotient de $u (x) = 80 x$ par $v (x) = x + 40$ :

$R^{'} (x) = \frac{80 ( x + 40 ) - 80 x}{( x + 40 ) ^{2}} = \frac{3200}{( x + 40 ) ^{2}} > 0$

Le rendement est strictement croissant : plus d'azote, plus de blé.

Concavité : en écrivant $R^{'} (x) = 3200 (x + 40)^{- 2}$ ,

$R^{''} (x) = - \frac{6400}{( x + 40 ) ^{3}} < 0 pour x \geq 0$

Donc $R$ est concave. Cela signifie que $R^{'}$ , le rendement marginal, décroît : chaque kilogramme supplémentaire rapporte moins que le précédent. C'est la loi des rendements décroissants, et elle se lit dans le signe de $R^{''}$ , pas dans celui de $R^{'}$ .

Gains successifs :

$R (40) - R (0) = 40, R (80) - R (40) \approx 13, 3, R (120) - R (80) \approx 6, 7$

Trois fois la même dose de $40$ kg, trois gains de plus en plus faibles.

Dose optimale :

$25 R^{'} (x) \geq 2 ⟺ R^{'} (x) \geq 0, 08 ⟺ \frac{3200}{( x + 40 ) ^{2}} \geq 0, 08 ⟺ (x + 40)^{2} \leq 40000$

Comme $x + 40 > 0$ , cela équivaut à $x + 40 \leq 200$ , c'est-à-dire $x \leq 160$ . La dose optimale est donc $160$ kg d'azote par hectare, pour un rendement de $R (160) = 64$ quintaux par hectare.

Rôle de la concavité : puisque $R^{'}$ décroît et tend vers $0$ , le gain marginal finit nécessairement par passer sous le coût du kilogramme d'azote : l'arrêt optimal existe et il est unique. Si $R$ était convexe, $R^{'}$ croîtrait, chaque kilogramme rapporterait plus que le précédent, et rien n'inciterait jamais à s'arrêter.

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