Problème — La loi des rendements décroissants

• Quelques valeurs :

$$R(0)=0,R(40)=\frac{3200}{80}=40,R(80)=\frac{6400}{120}=\frac{160}{3}\approx 53,3,R(160)=\frac{12800}{200}=64$$

En écrivant $R(x)=\frac{80}{1+\frac{40}{x}}$, on voit que $R(x)$ tend vers $80$ quand $x$ devient grand : le rendement plafonne à $80$ quintaux par hectare, quelle que soit la quantité d'engrais.

• Rendement marginal : $R$ est un quotient de $u(x)=80x$ par $v(x)=x+40$ :

$$R^{\prime }(x)=\frac{80(x+40)-80x}{(x+40{)}^2}=\frac{3200}{(x+40{)}^2}>0$$

Le rendement est strictement croissant : plus d'azote, plus de blé.

• Concavité : en écrivant $R^{\prime }(x)=3200(x+40{)}^{-2}$,

$$R^{\prime \prime }(x)=-\frac{6400}{(x+40{)}^3}<0\text{pour }x\ge 0$$

Donc $R$ est concave. Cela signifie que $R^{\prime }$, le rendement marginal, décroît : chaque kilogramme supplémentaire rapporte moins que le précédent. C'est la loi des rendements décroissants, et elle se lit dans le signe de $R^{\prime \prime }$, pas dans celui de $R^{\prime }$.

• Gains successifs :

$$R(40)-R(0)=40,R(80)-R(40)\approx 13,3,R(120)-R(80)\approx 6,7$$

Trois fois la même dose de $40$ kg, trois gains de plus en plus faibles.

• Dose optimale :

$$25R^{\prime }(x)\ge 2⟺R^{\prime }(x)\ge 0,08⟺\frac{3200}{(x+40{)}^2}\ge 0,08⟺(x+40{)}^2\le 40000$$

Comme $x+40>0$, cela équivaut à $x+40\le 200$, c'est-à-dire $x\le 160$. La dose optimale est donc $160$ kg d'azote par hectare, pour un rendement de $R(160)=64$ quintaux par hectare.

• Rôle de la concavité : puisque $R^{\prime }$ décroît et tend vers $0$, le gain marginal finit nécessairement par passer sous le coût du kilogramme d'azote : l'arrêt optimal existe et il est unique. Si $R$ était convexe, $R^{\prime }$ croîtrait, chaque kilogramme rapporterait plus que le précédent, et rien n'inciterait jamais à s'arrêter.