Problème — Le pic épidémique

• Départ et plafond :

$$N(0)=\frac{5000}{1+100}=\frac{5000}{101}\approx 49,5$$

soit environ $50$ personnes déjà contaminées le premier jour. Quand $t$ devient grand, $e^{-0,4t}$ tend vers $0$, donc le dénominateur tend vers $1$ et $N(t)$ tend vers $5000$ : le modèle prévoit que toute la ville finit par être touchée.

• Une équation vérifiée par $N^{\prime }$ : posons $u(t)=1+100e^{-0,4t}$, de sorte que $N=\frac{5000}{u}$ et $u^{\prime }(t)=-40e^{-0,4t}$. Alors

$$N^{\prime }(t)=-\frac{5000u^{\prime }(t)}{u(t{)}^2}=\frac{200000e^{-0,4t}}{u(t{)}^2}$$

Par ailleurs, comme $\frac{N}{5000}=\frac{1}{u}$ :

$$1-\frac{N(t)}{5000}=1-\frac{1}{u(t)}=\frac{u(t)-1}{u(t)}=\frac{100e^{-0,4t}}{u(t)}$$

d'où

$$0,4N(t)\left(1-\frac{N(t)}{5000}\right)=0,4\times \frac{5000}{u(t)}\times \frac{100e^{-0,4t}}{u(t)}=\frac{200000e^{-0,4t}}{u(t{)}^2}=N^{\prime }(t)$$

Comme $u(t)>1$, on a $0<N(t)<5000$, donc les deux facteurs sont strictement positifs : $N^{\prime }>0$ et $N$ est strictement croissante.

• Dérivée seconde : en dérivant $N^{\prime }=0,4\left(N-\frac{N^2}{5000}\right)$ :

$$N^{\prime \prime }=0,4\left(N^{\prime }-\frac{2N{N}^{\prime }}{5000}\right)=0,4N^{\prime }\left(1-\frac{2N}{5000}\right)$$

Puisque $N^{\prime }>0$, le signe de $N^{\prime \prime }$ est celui de $1-\frac{2N}{5000}$, c'est-à-dire celui de $2500-N$. Or $N$ croît strictement de $49,5$ vers $5000$ : il existe donc un unique instant $t^{\ast }$ où $N(t^{\ast })=2500$. Avant, $N^{\prime \prime }>0$ (courbe convexe) ; après, $N^{\prime \prime }<0$ (courbe concave). Il y a bien un point d'inflexion, atteint exactement quand le cumul vaut la moitié de la population.

• Le jour du pic :

$$N(t)=2500⟺1+100e^{-0,4t}=2⟺e^{-0,4t}=\frac{1}{100}⟺-0,4t=-\ln 100$$

d'où, puisque $\ln 100=2\ln 10$ :

$$t^{\ast }=\frac{2\ln 10}{0,4}=5\ln 10\approx 11,5\text{ jours}$$

Le nombre de nouveaux cas ce jour-là est le maximum de $N^{\prime }$ :

$$N^{\prime }(t^{\ast })=0,4\times 2500\times \left(1-\frac{2500}{5000}\right)=0,4\times 2500\times 0,5=500\text{ cas par jour}$$

• Le cap des 4000 cas :

$$\frac{5000}{1+100e^{-0,4t}}=4000⟺1+100e^{-0,4t}=1,25⟺e^{-0,4t}=0,0025$$

donc $-0,4t=\ln (0,0025)=-\ln 400$ et

$$t=\frac{\ln 400}{0,4}=2,5\ln 400\approx 15,0\text{ jours}$$

• Non : au douzième jour, la moitié seulement de la population a été touchée, et le total continue de croître vers $5000$. Ce qui change au pic, c'est que le nombre de nouveaux cas quotidiens se met à diminuer : l'épidémie cesse de s'aggraver, elle ne s'arrête pas. C'est pour cette raison que le point d'inflexion est la grandeur surveillée : il arrive bien avant que les courbes ne se stabilisent.