Problème — Répartition des richesses, la courbe de Lorenz

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 5 — Convexité

Énoncé

Problème — Répartition des richesses, la courbe de Lorenz.

On classe les ménages d'un pays du plus pauvre au plus riche. Pour $x \in [0; 1]$ , on note $L (x)$ la part du revenu total détenue par les $100 x$ % les plus pauvres. La courbe de $L$ s'appelle courbe de Lorenz. On compare deux pays :

$L_{A} (x) = x^{2} et L_{B} (x) = \frac{x ^{2} + x ^{3}}{2} .$

Vérifier que $L_{A} (0) = L_{B} (0) = 0$ , que $L_{A} (1) = L_{B} (1) = 1$ , et que les deux fonctions sont croissantes sur $[0; 1]$ .
Montrer que $L_{A}$ et $L_{B}$ sont convexes sur $[0; 1]$ . Qu'exprime cette convexité ?
En utilisant la définition de la convexité par les sécantes, justifier sans aucun calcul que la courbe de $L_{A}$ est au-dessous de la droite d'équation $y = x$ , dite droite d'égalité parfaite.
Calculer, pour chaque pays, la part détenue par les $50$ % les plus pauvres, puis celle détenue par les $10$ % les plus riches.
Montrer que $L_{A} (x) - L_{B} (x) = \frac{x ^{2} ( 1 - x )}{2}$ sur $[0; 1]$ . Lequel des deux pays est le plus inégalitaire ?
Pour le pays $A$ , déterminer où l'écart à la droite d'égalité parfaite est maximal, et combien il vaut.

Corrigé

Conditions aux bornes : $L_{A} (0) = 0$ et $L_{A} (1) = 1$ ; $L_{B} (0) = 0$ et $L_{B} (1) = \frac{1 + 1}{2} = 1$ . C'est cohérent : $0$ % de la population détient $0$ % du revenu, et $100$ % en détient $100$ %. De plus

$L_{A}^{'} (x) = 2 x \geq 0 et L_{B}^{'} (x) = x + \frac{3 x ^{2}}{2} \geq 0 sur [0; 1]$

donc les deux fonctions sont croissantes : ajouter des ménages ne peut qu'augmenter la part cumulée.

Convexité :

$L_{A}^{''} (x) = 2 > 0 et L_{B}^{''} (x) = 1 + 3 x > 0 sur [0; 1]$

D'après la caractérisation admise, les deux courbes sont convexes. Or $L^{'}$ mesure la part de revenu qui revient au ménage de rang $x$ : dire que $L^{'}$ croît, c'est dire que plus on monte dans le classement, plus la tranche suivante capte de revenu. La convexité de la courbe de Lorenz est l'inégalité de la répartition.

Sous la diagonale, sans calcul : les points $(0; 0)$ et $(1; 1)$ appartiennent à la courbe de $L_{A}$ , et la sécante qui les joint est précisément la droite $y = x$ . Par définition, la courbe d'une fonction convexe est au-dessous de ses sécantes : donc $L_{A} (x) \leq x$ sur $[0; 1]$ . Le même argument vaut pour $L_{B}$ .
Lectures chiffrées — les $50$ % les plus pauvres :

$L_{A} (0, 5) = 0, 25 (25 %) L_{B} (0, 5) = \frac{0 , 25 + 0 , 125}{2} = 0, 1875 (18, 75 %)$

les $10$ % les plus riches, c'est-à-dire $1 - L (0, 9)$ :

$1 - L_{A} (0, 9) = 1 - 0, 81 = 0, 19 (19 %) 1 - L_{B} (0, 9) = 1 - 0, 7695 = 0, 2305 (23, 05 %)$

Comparaison :

$L_{A} (x) - L_{B} (x) = x^{2} - \frac{x ^{2} + x ^{3}}{2} = \frac{2 x ^{2} - x ^{2} - x ^{3}}{2} = \frac{x ^{2} - x ^{3}}{2} = \frac{x ^{2} ( 1 - x )}{2} \geq 0 sur [0; 1]$

À chaque rang, les moins riches détiennent donc moins dans le pays $B$ que dans le pays $A$ : le pays B est le plus inégalitaire.

Écart maximal pour le pays $A$ : posons $δ (x) = x - L_{A} (x) = x - x^{2}$ . Alors $δ^{'} (x) = 1 - 2 x$ , positive avant $0, 5$ et négative après : $δ$ atteint son maximum en $x = 0, 5$ , et

$δ (0, 5) = 0, 5 - 0, 25 = 0, 25$

L'écart à l'égalité parfaite est donc maximal au milieu de la distribution, et il vaut $0, 25$ : la moitié la plus pauvre détient $25$ points de pourcentage de revenu de moins que ce qu'une répartition égalitaire lui donnerait.

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