Quand f'' s'annule sans changer de signe — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 5)

Quand

f^{''}

s'annule sans changer de signe

Convexité · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Quand $f^{''}$ s'annule sans changer de signe.

Soit $g$ définie sur $R$ par $g (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2}$ .

Calculer $g^{''} (x)$ et la factoriser.
En déduire la convexité de $g$ sur $R$ .
On a $g^{''} (1) = 0$ . La courbe admet-elle un point d'inflexion en $1$ ?
Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe au point d'abscisse $1$ , puis montrer que $g (x) - (4 x - 1) = (x - 1)^{4}$ . Que conclure sur la position de la courbe par rapport à $T$ ?

$g^{'} (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 12 x puis g^{''} (x) = 12 x^{2} - 24 x + 12 = 12 (x - 1)^{2}$

Convexité : un carré est toujours positif, donc $g^{''} (x) \geq 0$ pour tout réel $x$ . La fonction $g$ est convexe sur $R$ tout entier.
Pas de point d'inflexion : $g^{''}$ s'annule bien en $1$ , mais elle reste positive de part et d'autre. Il n'y a donc aucun changement de signe, donc aucun changement de convexité : la courbe n'admet pas de point d'inflexion en $1$ .
Tangente : $g (1) = 1 - 4 + 6 = 3$ et $g^{'} (1) = 4 - 12 + 12 = 4$ , d'où

$T : y = 3 + 4 (x - 1) = 4 x - 1$

Puis, en développant $(x - 1)^{4} = x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1$ :

$g (x) - (4 x - 1) = x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1 = (x - 1)^{4} \geq 0$

La courbe est donc au-dessus de $T$ partout, et ne la touche qu'en $x = 1$ : la tangente ne traverse pas la courbe.

L'annulation de $g^{''}$ est nécessaire mais pas suffisante : sans changement de signe, pas de point d'inflexion.