Revenir à la définition, par les sécantes

• Sécante : son coefficient directeur vaut $\frac{9-1}{3-1}=4$, et elle passe par $A(1;1)$ :

$$y=1+4(x-1)=4x-3$$

• Position : pour tout $x\in [1;3]$,

$$(4x-3)-x^2=-\left(x^2-4x+3\right)=-(x-1)(x-3)=(x-1)(3-x)\ge 0$$

car $x-1\ge 0$ et $3-x\ge 0$ sur cet intervalle. La sécante est donc bien au-dessus de la courbe entre $A$ et $B$.

• Au point d'abscisse $2$ : la sécante vaut $4\times 2-3=5$ et la courbe $2^2=4$. L'écart est de $1$, en faveur de la sécante.
• Caractérisation : $f^{\prime \prime }(x)=2>0$, donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$. L'équivalence admise du cours garantit alors que ce qu'on vient de vérifier sur la seule sécante $(AB)$ vaut pour toutes les sécantes, sans nouveau calcul.

C'est tout l'intérêt de la caractérisation : un calcul de signe remplace une infinité de vérifications géométriques.