Trois dérivées secondes

• Deux dérivations successives : on dérive, puis on dérive à nouveau le résultat.

$$f^{\prime }(x)=8x^3-9x^2+5\text{puis}{f}^{\prime \prime }(x)=24x^2-18x=6x(4x-3)$$

Le signe de $f^{\prime \prime }$ n'est pas constant : $f$ n'est ni convexe ni concave sur $\mathbb{R}$ tout entier.

• Dérivée de $e^u$ : avec $u(t)=-0,4t$ et $u^{\prime }(t)=-0,4$,

$$g^{\prime }(t)=-0,4e^{-0,4t}\text{puis}{g}^{\prime \prime }(t)=0,16e^{-0,4t}$$

L'exponentielle étant strictement positive, $g^{\prime \prime }>0$ : $g$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

• Dérivée de $\ln u$ : avec $u(x)=2x+1$ et $u^{\prime }(x)=2$,

$$h^{\prime }(x)=\frac{2}{2x+1}\text{puis}{h}^{\prime \prime }(x)=-\frac{4}{(2x+1{)}^2}$$

Un carré au dénominateur : $h^{\prime \prime }<0$ sur tout l'intervalle, donc $h$ est concave.

Dériver deux fois ne demande aucune règle nouvelle : ce sont les formules du chapitre précédent, appliquées une fois de plus.