Un coût marginal minimal

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 5 — Convexité

Énoncé

Un coût marginal minimal.

Une PME produit $q$ pièces par jour, avec $0 \leq q \leq 40$ . Son coût total, en euros, est

$C (q) = 0, 01 q^{3} - 0, 6 q^{2} + 15 q + 100.$

En économie, le coût marginal est la dérivée $C^{'} (q)$ : c'est, approximativement, ce que coûte la pièce suivante.

Calculer $C^{'} (q)$ et montrer que le coût total est toujours croissant.
Calculer $C^{''} (q)$ et étudier la convexité de $C$ .
Déterminer le point d'inflexion de la courbe de $C$ .
Pour quelle production le coût marginal est-il minimal, et combien vaut-il ?

Corrigé

Coût marginal :

$C^{'} (q) = 0, 03 q^{2} - 1, 2 q + 15$

Son discriminant vaut $(- 1, 2)^{2} - 4 \times 0, 03 \times 15 = 1, 44 - 1, 8 = - 0, 36 < 0$ . Le trinôme ne s'annule pas et son coefficient dominant $0, 03$ est positif : donc $C^{'} (q) > 0$ , et $C$ est strictement croissante. Produire davantage coûte toujours davantage.

Convexité :

$C^{''} (q) = 0, 06 q - 1, 2 = 0, 06 (q - 20)$

Donc $C$ est concave sur $[0; 20]$ et convexe sur $[20; 40]$ .

Point d'inflexion : $C^{''}$ s'annule en $20$ en changeant de signe. Comme

$C (20) = 0, 01 \times 8000 - 0, 6 \times 400 + 15 \times 20 + 100 = 80 - 240 + 300 + 100 = 240$

le point d'inflexion est $(20; 240)$ .

Coût marginal minimal : un point d'inflexion de $C$ est un extremum de $C^{'}$ . Ici $C^{'}$ décroît sur $[0; 20]$ puis croît sur $[20; 40]$ : elle atteint son minimum en $q = 20$ , et

$C^{'} (20) = 0, 03 \times 400 - 1, 2 \times 20 + 15 = 12 - 24 + 15 = 3 €$

Avant $20$ pièces, chaque pièce supplémentaire coûte moins cher que la précédente : la production « prend son rythme ». Après $20$ , c'est l'inverse. Le point d'inflexion sépare les deux régimes, et c'est le seuil que cherche le gestionnaire.

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