Charge d'un condensateur — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 6)

Charge d'un condensateur

Primitives et équations différentielles · niveau 2

Énoncé

Charge d'un condensateur.

Un condensateur, initialement déchargé, est branché à $t = 0$ sur une pile de $12$ V à travers une résistance. La tension à ses bornes vérifie

$u^{'} = - 0, 2 u + 2, 4, t en secondes.$

Déterminer la solution constante. Que représente-t-elle ?
Résoudre avec $u (0) = 0$ .
Calculer $u (5)$ et vérifier que cela représente environ $63 %$ de la valeur finale.
Au bout de combien de temps la charge atteint-elle $99 %$ de la tension de la pile ?

Solution constante. $- \frac{2 , 4}{- 0 , 2} = 12$ : c'est la tension de la pile, celle vers laquelle le condensateur tend une fois chargé.
Résolution. $u (t) = C e^{- 0, 2 t} + 12$ et $u (0) = 0$ donne $C = - 12$ :

$u (t) = 12 (1 - e^{- 0, 2 t}) .$

À $t = 5$ s. $u (5) = 12 (1 - e^{- 1}) \approx 7, 59$ V, soit $1 - e^{- 1} \approx 0, 632$ , c'est-à-dire $63, 2 %$ de $12$ V. La durée $5$ s est la constante de temps $R C_{0}$ du circuit : elle ne dépend pas de la tension de la pile, et c'est toujours à cet instant qu'on atteint $63 %$ .
Presque chargé. $12 (1 - e^{- 0, 2 t}) = 0, 99 \times 12$ équivaut à $e^{- 0, 2 t} = 0, 01$ , donc

$t = \frac{ln 100}{0 , 2} = 5 ln 100 \approx 23, 0 secondes,$

soit un peu moins de cinq constantes de temps — la règle que retiennent les électroniciens.