Iode 131 et scintigraphie — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 6)

Iode 131 et scintigraphie

Primitives et équations différentielles · niveau 2

Énoncé

Iode 131 et scintigraphie.

Un service de médecine nucléaire reçoit une source d'iode 131 d'activité $A_{0} = 200$ MBq. L'activité vérifie $A^{'} = - λ A$ , et la demi-vie de cet isotope est de $8$ jours.

Résoudre l'équation et exprimer $A (t)$ en fonction de $λ$ .
Déterminer $λ$ à partir de la demi-vie.
Calculer l'activité au bout de $24$ jours, d'abord sans calculatrice.
La source est jugée inutilisable en dessous de $5$ MBq. Au bout de combien de jours ?

Corrigé

Résolution. L'équation est de la forme $y^{'} = a y$ avec $a = - λ$ , donc $A (t) = C e^{- λ t}$ ; la condition $A (0) = 200$ donne $C = 200$ et

$A (t) = 200 e^{- λ t} .$

Coefficient. La demi-vie $T = 8$ vérifie $e^{- 8 λ} = \frac{1}{2}$ , d'où $- 8 λ = - ln 2$ et

$λ = \frac{ln 2}{8} \approx 0, 0866 par jour.$

Trois demi-vies. $24 = 3 \times 8$ : l'activité est divisée par $2$ trois fois de suite, donc $A (24) = \frac{200}{2 ^{3}} = 25$ MBq. Le calcul direct confirme : $200 e^{- 24 l n 2/8} = 200 \times 2^{- 3} = 25$ .
Seuil. On résout $200 e^{- λ t} = 5$ , soit $e^{- λ t} = \frac{1}{40}$ , donc

$t = \frac{ln 40}{λ} = \frac{8 ln 40}{ln 2} \approx 42, 6 jours.$

Une source livrée le $1^{er}$ du mois est donc hors service avant la mi-février : ces produits ne se stockent pas, ils se commandent.