Le café qui refroidit — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 6)

Le café qui refroidit

Primitives et équations différentielles · niveau 1 (application)

Énoncé

Le café qui refroidit.

Un café servi à $85^{\circ}$ C refroidit dans une salle à $20^{\circ}$ C selon $T^{'} = - 0, 05 T + 1$ , où $t$ est en minutes.

Solution constante. Ici $a = - 0, 05$ et $b = 1$ , donc $- \frac{b}{a} = - \frac{1}{- 0 , 05} = 20$ . C'est la température de la salle : un café déjà à $20^{\circ}$ C n'évolue plus.
Solution générale et condition initiale. $T (t) = C e^{- 0, 05 t} + 20$ , et $T (0) = 85$ donne $C + 20 = 85$ , soit $C = 65$ :

$T (t) = 20 + 65 e^{- 0, 05 t} .$

$20 + 65 e^{- 0, 05 t} = 55 ⟺ e^{- 0, 05 t} = \frac{35}{65} = \frac{7}{13},$

donc $t = 20 ln \frac{13}{7} \approx 12, 4$ minutes.

Une valeur. $T (30) = 20 + 65 e^{- 1, 5} \approx 34, 5^{\circ}$ C. Le café a perdu $50$ degrés en une demi-heure, mais il lui faudra bien plus longtemps pour perdre les $14, 5$ derniers : l'écart à la salle est divisé par le même facteur à chaque durée égale, jamais annulé.