Le café qui refroidit

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 6 — Primitives et équations différentielles

Énoncé

Le café qui refroidit.

Un café servi à $85^{\circ}$ C refroidit dans une salle à $20^{\circ}$ C selon $T^{'} = - 0, 05 T + 1$ , où $t$ est en minutes.

Déterminer la solution constante et l'interpréter.
Résoudre l'équation avec $T (0) = 85$ .
Au bout de combien de temps le café est-il à $55^{\circ}$ C ?
Quelle est sa température au bout d'une demi-heure ?

Corrigé

Solution constante. Ici $a = - 0, 05$ et $b = 1$ , donc $- \frac{b}{a} = - \frac{1}{- 0 , 05} = 20$ . C'est la température de la salle : un café déjà à $20^{\circ}$ C n'évolue plus.
Solution générale et condition initiale. $T (t) = C e^{- 0, 05 t} + 20$ , et $T (0) = 85$ donne $C + 20 = 85$ , soit $C = 65$ :

$T (t) = 20 + 65 e^{- 0, 05 t} .$

Un seuil.

$20 + 65 e^{- 0, 05 t} = 55 ⟺ e^{- 0, 05 t} = \frac{35}{65} = \frac{7}{13},$

donc $t = 20 ln \frac{13}{7} \approx 12, 4$ minutes.

Une valeur. $T (30) = 20 + 65 e^{- 1, 5} \approx 34, 5^{\circ}$ C. Le café a perdu $50$ degrés en une demi-heure, mais il lui faudra bien plus longtemps pour perdre les $14, 5$ derniers : l'écart à la salle est divisé par le même facteur à chaque durée égale, jamais annulé.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.