Le volume d'une cuve de fermentation — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 6)

Le volume d'une cuve de fermentation

Primitives et équations différentielles · niveau 1 (application)

Énoncé

Le volume d'une cuve de fermentation.

Une cuve contient $50$ litres au départ. On l'alimente avec un débit décroissant $f (t) = 10 e^{- 0, 2 t}$ litres par heure.

Primitive et condition initiale. On cherche $V$ telle que $V^{'} = f$ . Comme $(e^{- 0, 2 t})^{'} = - 0, 2 e^{- 0, 2 t}$ , une primitive de $10 e^{- 0, 2 t}$ est $\frac{10}{- 0 , 2} e^{- 0, 2 t} = - 50 e^{- 0, 2 t}$ . Donc

$V (t) = - 50 e^{- 0, 2 t} + k .$

La condition $V (0) = 50$ donne $- 50 + k = 50$ , soit $k = 100$ :

$V (t) = 100 - 50 e^{- 0, 2 t} .$

Limite. Quand $t$ devient grand, $e^{- 0, 2 t}$ s'écrase vers $0$ et $V (t)$ tend vers $100$ litres. La cuve ne dépassera jamais ce volume : le débit s'épuise trop vite. Autrement dit, les $50$ litres restants sont versés « en un temps infini ».
Un seuil. On résout

$100 - 50 e^{- 0, 2 t} = 90 ⟺ e^{- 0, 2 t} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5} ⟺ - 0, 2 t = - ln 5,$

d'où $t = \frac{ln 5}{0 , 2} = 5 ln 5 \approx 8, 05$ heures, soit environ $8$ h $3$ min.