Lire un thermomètre avant qu'il se stabilise (physique)

Lire un thermomètre avant qu'il se stabilise (physique).

Un thermomètre, à $20{}^{\circ }$C, est plongé à l'instant $t=0$ dans un liquide de température $\theta$ inconnue. Sa température $T(t)$, en degrés, vérifie $T^{\prime }=-k(T-\theta )$, avec $k>0$ ($t$ en minutes). Il affiche $50{}^{\circ }$C au bout d'une minute et $65{}^{\circ }$C au bout de deux minutes.

• Résoudre l'équation, et montrer que $T(t)=\theta +(20-\theta )q^t$, avec $q=e^{-k}$.
• Écrire les deux mesures, puis calculer $T(1)-T(0)$ et $T(2)-T(1)$ en fonction de $\theta$ et $q$. En déduire $q$, puis $\theta$ et $k$.
• Au bout de combien de temps le thermomètre affiche-t-il $79{}^{\circ }$C, à un degré près de la vraie valeur ?