Problème — La datation au carbone 14

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 6 — Primitives et équations différentielles

Énoncé

Problème — La datation au carbone 14.

Tout être vivant échange du carbone avec l'atmosphère et contient donc une proportion constante de carbone 14, isotope radioactif. À sa mort, les échanges cessent et le stock de carbone 14 se désintègre. En notant $N (t)$ la quantité restante,

$N^{'} = - λ N, t en ann e ˊ es.$

La demi-vie du carbone 14 est de $5730$ ans.

Résoudre l'équation avec $N (0) = N_{0}$ , puis exprimer $λ$ à l'aide de la demi-vie et en donner une valeur approchée.
Un charbon de bois prélevé au fond d'une grotte contient $12 %$ du carbone 14 qu'il contenait de son vivant. Dater ce charbon.
La mesure est en réalité $12 %$ à un point de pourcentage près. Donner un encadrement de l'âge, et conclure sur la précision annoncée.
Un manuel de terrain propose la règle : « le carbone 14 diminue de $1, 2 %$ par siècle ». Justifier cette règle, puis refaire la datation avec elle.
Pourquoi la méthode devient-elle inutilisable au-delà de $50000$ ans ?

Corrigé

Résolution et coefficient. L'équation est de la forme $y^{'} = a y$ avec $a = - λ$ , donc $N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ . La demi-vie $T = 5730$ vérifie $e^{- λ T} = \frac{1}{2}$ , d'où

$λ = \frac{ln 2}{5730} \approx 1, 21 \times 1 0^{- 4} par an.$

Datation. On cherche $t$ tel que $N (t) = 0, 12 N_{0}$ , soit $e^{- λ t} = 0, 12$ :

$t = \frac{- ln 0 , 12}{λ} = \frac{5730 \times ln ( \frac{1}{0 , 12} )}{ln 2} \approx 17527 ans.$

Le charbon a donc environ $17500$ ans.

Précision. La fonction $p \mapsto \frac{- ln p}{λ}$ est décroissante : plus il reste de carbone 14, plus l'échantillon est jeune. Donc

pour $p = 13 %$ : $t \approx 16866$ ans ;
pour $p = 11 %$ : $t \approx 18247$ ans.

L'âge est donc compris entre $16900$ et $18200$ ans environ, soit une incertitude de plus de $1300$ ans. Annoncer « $17527$ ans » serait donc une fausse précision : on écrira « environ $17500$ ans, à un millier d'années près ».

La règle du siècle. En un siècle, la quantité est multipliée par

$e^{- 100 λ} = e^{- 0, 0121} \approx 0, 98798,$

soit une perte de $1, 20 %$ : la règle est exacte au centième de pour cent près. En l'utilisant, le nombre $n$ de siècles vérifie $0, 98 8^{n} = 0, 12$ , donc

$n = \frac{ln 0 , 12}{ln 0 , 988} \approx 175, 6 si e ˋ cles,$

soit $17560$ ans. L'écart avec le modèle continu est de $35$ ans — négligeable devant l'incertitude de mesure. C'est un bon exemple de la mise en regard d'un modèle discret (une suite géométrique de raison $0, 988$ ) et d'un modèle continu (une exponentielle) : ils décrivent le même phénomène et se répondent.

La limite de la méthode. Au bout de $50000$ ans, la proportion restante vaut

$e^{- 50000 λ} \approx 0, 0024,$

soit deux dixièmes de pour cent. Une telle trace est du même ordre que les pollutions et les erreurs de mesure : le signal est noyé. Pour dater plus ancien, les géologues changent d'horloge et utilisent des isotopes de demi-vie beaucoup plus longue.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.