Reconnaître une forme composée — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 6)

Reconnaître une forme composée

Primitives et équations différentielles · niveau 1 (application)

Énoncé

Reconnaître une forme composée.

Chacune des vitesses suivantes cache l'une des trois formes $2 u^{'} u$ , $u^{'} e^{u}$ , $\frac{u ^{'}}{u}$ . Identifier $u$ , puis donner une primitive.

$f (t) = 0, 6 t e^{0, 3 t^{2}}$ (croissance d'une biomasse).
$g (t) = (6 t + 4) (3 t^{2} + 4 t + 1)$ (puissance dissipée, $t \geq 0$ ).
$h (t) = \frac{0 , 4}{1 + 0 , 4 t}$ (taux de croissance relatif, $t \geq 0$ ).
$k (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 9}$ (sensibilité d'un capteur).

Corrigé

Forme $u^{'} e^{u}$ . On pose $u (t) = 0, 3 t^{2}$ , d'où $u^{'} (t) = 0, 6 t$ : l'expression est exactement $u^{'} e^{u}$ et $F (t) = e^{0, 3 t^{2}} + k$ . Contrôle : en dérivant $e^{0, 3 t^{2}}$ on retrouve $0, 6 t e^{0, 3 t^{2}}$ .
Forme $u^{'} u$ . On pose $u (t) = 3 t^{2} + 4 t + 1$ , d'où $u^{'} (t) = 6 t + 4$ : l'expression est $u^{'} u$ , c'est-à-dire la moitié de $2 u^{'} u$ , donc

$G (t) = \frac{( 3 t ^{2} + 4 t + 1 ) ^{2}}{2} + k .$

Forme $u^{'} / u$ . On pose $u (t) = 1 + 0, 4 t$ , d'où $u^{'} (t) = 0, 4$ , et $u > 0$ pour $t \geq 0$ : $H (t) = ln (1 + 0, 4 t) + k$ .
Forme $u^{'} / u$ encore. On pose $u (x) = x^{2} + 9$ , d'où $u^{'} (x) = 2 x$ , et $u > 0$ sur $R$ tout entier : $K (x) = ln (x^{2} + 9) + k$ .

Le geste est toujours le même : lire ce qui est à l'intérieur, le dériver, et vérifier que ce facteur est bien devant.