Retrouver le nombre $e$ par la méthode d'Euler

Retrouver le nombre $e$ par la méthode d'Euler.

On considère l'équation $y^{\prime }=y$ avec $y(0)=1$, dont la solution exacte est $t\mapsto e^t$. On l'approche par la méthode d'Euler sur $[0;1]$, avec $n$ pas de longueur $h=\frac{1}{n}$.

• Montrer que la méthode donne $y_{k+1}=(1+h)y_k$, et en déduire que l'approximation de $y(1)=e$ vaut ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$.
• Calculer cette approximation pour $n=1$, $2$, $10$ et $100$, et comparer à $e\approx 2,71828$.
• Écrire une fonction Python qui renvoie l'approximation pour $n$ pas.
• En utilisant l'inégalité $e^h\ge 1+h$, vue au chapitre précédent, expliquer pourquoi la méthode donne toujours une valeur inférieure à $e$.