Trois modèles, trois vérifications — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 6)

Trois modèles, trois vérifications

Primitives et équations différentielles · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Trois modèles, trois vérifications.

Vérifier, dans chacun des trois cas, que la fonction proposée est solution de l'équation différentielle indiquée.

Désintégration : $N (t) = 500 e^{- 0, 08 t}$ pour $y^{'} = - 0, 08 y$ .
Refroidissement : $f (t) = 20 + 65 e^{- 0, 25 t}$ pour $y^{'} = - 0, 25 y + 5$ .
Épidémie : $P (t) = \frac{2400}{1 + 11 e ^{- 0, 4 t}}$ pour $y^{'} = 0, 4 y (1 - \frac{y}{2400})$ .

Une exponentielle nue. $N$ est de la forme $500 e^{u}$ avec $u (t) = - 0, 08 t$ , donc $N^{'} (t) = 500 \times (- 0, 08) e^{- 0, 08 t} = - 0, 08 N (t)$ . C'est exactement l'équation demandée : $N$ est solution sur $[0; + \infty [$ .
Avec un terme constant. D'une part $f^{'} (t) = 65 \times (- 0, 25) e^{- 0, 25 t} = - 16, 25 e^{- 0, 25 t}$ . D'autre part

$- 0, 25 f (t) + 5 = - 5 - 16, 25 e^{- 0, 25 t} + 5 = - 16, 25 e^{- 0, 25 t} .$

Les deux expressions coïncident pour tout $t$ : $f$ est solution.

Un quotient. Posons $u (t) = 1 + 11 e^{- 0, 4 t}$ , strictement positif, avec $u^{'} (t) = - 4, 4 e^{- 0, 4 t}$ . Comme $P = \frac{2400}{u}$ ,

$P^{'} (t) = - \frac{2400 u ^{'} ( t )}{u ( t ) ^{2}} = \frac{10 560 e ^{- 0, 4 t}}{u ( t ) ^{2}} .$

Calculons maintenant le second membre. Comme $1 - \frac{P}{2400} = 1 - \frac{1}{u} = \frac{u - 1}{u} = \frac{11 e ^{- 0, 4 t}}{u}$ , il vient

$0, 4 P (1 - \frac{P}{2400}) = 0, 4 \times \frac{2400}{u} \times \frac{11 e ^{- 0, 4 t}}{u} = \frac{10 560 e ^{- 0, 4 t}}{u ^{2}} .$

Les deux calculs donnent la même chose : $P$ est solution.

Le troisième cas est une équation logistique : savoir la résoudre n'est pas exigible, savoir vérifier une solution proposée l'est toujours.