Une culture bactérienne

• Résolution. $N(t)=1200e^{0,35t}$.
• Doublement. On cherche $T$ tel que $e^{0,35T}=2$, donc

$$T=\frac{\ln 2}{0,35}\approx 1,98\text{ heure,}$$

soit à peu près deux heures — ce qui correspond bien à ce qu'on observe pour de nombreuses bactéries en phase de croissance.

• Un seuil. $1200e^{0,35t}=10^6$ donne $e^{0,35t}=\frac{10^6}{1200}\approx 833,3$, donc

$$t=\frac{\ln (833,3)}{0,35}\approx 19,2\text{ heures.}$$

• Limites du modèle. Non. En prolongeant, on trouverait $N(48)=1200e^{16,8}$, soit plus de vingt milliards de bactéries — bien au-delà de ce que le milieu peut nourrir. Le modèle $y^{\prime }=ay$ ne vaut que tant que rien ne manque ; dès que la ressource s'épuise, il faut le corriger par un modèle logistique, comme dans l'épidémie de grippe étudiée plus loin.