Une culture bactérienne

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 6 — Primitives et équations différentielles

Énoncé

Une culture bactérienne.

Dans un milieu riche et sans contrainte, une population bactérienne vérifie $N^{'} = 0, 35 N$ ( $t$ en heures), avec $N (0) = 1200$ .

Exprimer $N (t)$ .
Calculer le temps de doublement.
Au bout de combien de temps la population dépasse-t-elle un million ?
Ce modèle peut-il rester valable indéfiniment ?

Corrigé

Résolution. $N (t) = 1200 e^{0, 35 t}$ .
Doublement. On cherche $T$ tel que $e^{0, 35 T} = 2$ , donc

$T = \frac{ln 2}{0 , 35} \approx 1, 98 heure,$

soit à peu près deux heures — ce qui correspond bien à ce qu'on observe pour de nombreuses bactéries en phase de croissance.

Un seuil. $1200 e^{0, 35 t} = 1 0^{6}$ donne $e^{0, 35 t} = \frac{1 0 ^{6}}{1200} \approx 833, 3$ , donc

$t = \frac{ln ( 833 , 3 )}{0 , 35} \approx 19, 2 heures.$

Limites du modèle. Non. En prolongeant, on trouverait $N (48) = 1200 e^{16, 8}$ , soit plus de vingt milliards de bactéries — bien au-delà de ce que le milieu peut nourrir. Le modèle $y^{'} = a y$ ne vaut que tant que rien ne manque ; dès que la ressource s'épuise, il faut le corriger par un modèle logistique, comme dans l'épidémie de grippe étudiée plus loin.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.