Une perfusion continue

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 6 — Primitives et équations différentielles

Énoncé

Une perfusion continue.

On administre un médicament en perfusion continue. Sa concentration plasmatique vérifie

$C^{'} = - 0, 2 C + 4, t en heures, C en mg/L, C (0) = 0.$

Déterminer la concentration de plateau.
Résoudre l'équation.
Au bout de combien de temps atteint-on $90 %$ du plateau ?
Le médecin souhaite un plateau de $30$ mg/L. Comment régler le débit ?

Corrigé

Plateau. La solution constante vaut $- \frac{4}{- 0 , 2} = 20$ mg/L. C'est l'équilibre entre ce qu'on injecte et ce que l'organisme élimine.
Résolution. $C (t) = k e^{- 0, 2 t} + 20$ et $C (0) = 0$ donne $k = - 20$ :

$C (t) = 20 (1 - e^{- 0, 2 t}) .$

Neuf dixièmes. On résout $20 (1 - e^{- 0, 2 t}) = 18$ , soit $e^{- 0, 2 t} = 0, 1$ :

$t = \frac{ln 10}{0 , 2} = 5 ln 10 \approx 11, 5 heures.$

Régler le débit. Le plateau vaut $\frac{b}{0 , 2}$ : pour qu'il vaille $30$ , il faut $b = 0, 2 \times 30 = 6$ mg/L par heure, soit une fois et demie le débit précédent.

Le plateau se règle par le débit, mais le temps pour l'atteindre ne dépend que de $a$ : augmenter le débit ne fait pas arriver plus tôt. C'est pourquoi on commence souvent par une « dose de charge ».

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.