Encadrer sans calculer

• Sens de variation. Le dénominateur $1+0,5t$ est strictement croissant et strictement positif sur $[0;6]$ ; l'inverse d'une fonction strictement croissante et positive est strictement décroissant, et le facteur $120$ est positif. Donc $d$ décroît, de $d(0)=120$ à $d(6)=30$.
• Encadrement par les bornes. Comme $30\le d(t)\le 120$ sur un intervalle de longueur $6$,

$$30\times 6\le V\le 120\times 6,\text{soit}180\le V\le 720.$$

• Découpage. Par la relation de Chasles, $V={\int }_0^{2}d+{\int }_2^{4}d+{\int }_4^{6}d$. Sur chaque morceau, $d$ étant décroissante, elle est comprise entre sa valeur au bord droit et sa valeur au bord gauche. Avec $d(0)=120$, $d(2)=60$, $d(4)=40$, $d(6)=30$ :

$$2\times 60+2\times 40+2\times 30\le V\le 2\times 120+2\times 60+2\times 40,$$

c'est-à-dire $260\le V\le 440$. L'amplitude est passée de $540$ à $180$.

• Valeur exacte. On reconnaît la forme $\frac{u^{\prime }}{u}$ :

$$d(t)=\frac{120}{1+0,5t}=240\times \frac{0,5}{1+0,5t},$$

dont une primitive est $240\ln (1+0,5t)$ — licite car $1+0,5t>0$ sur $[0;6]$. Donc

$$V=[240\ln (1+0,5t){]}_0^6=240\ln 4-240\ln 1=240\ln 4=480\ln 2\approx 332,7{\text{ m}}^3.$$

La valeur exacte tombe bien dans $[260;440]$. Retenir la démarche : on encadre avant de calculer, jamais après — c'est l'encadrement qui détecte l'erreur de primitive.