Glycémie moyenne après un repas

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 7 — Intégration

Énoncé

Glycémie moyenne après un repas.

Chez un patient, la glycémie mesurée après un repas, en mmol/L, suit le modèle

$g (t) = 5 + 3 e^{- 0, 4 t}, 0 \leq t \leq 5 (t en heures).$

Déterminer une primitive de $g$ sur $[0; 5]$ .
Calculer la glycémie moyenne sur les cinq heures qui suivent le repas.
Contrôler le résultat par un encadrement.

Corrigé

Primitive. Une primitive de $e^{- 0, 4 t}$ est $- \frac{1}{0 , 4} e^{- 0, 4 t} = - 2, 5 e^{- 0, 4 t}$ , donc

$G (t) = 5 t - 7, 5 e^{- 0, 4 t}$

convient : on vérifie $G^{'} (t) = 5 + 3 e^{- 0, 4 t} = g (t)$ .

Valeur moyenne.

$\int_{0}^{5} g (t) d t = G (5) - G (0) = (25 - 7, 5 e^{- 2}) - (0 - 7, 5) = 32, 5 - 7, 5 e^{- 2} \approx 31, 485,$

d'où

$μ = \frac{1}{5} (32, 5 - 7, 5 e^{- 2}) = 6, 5 - 1, 5 e^{- 2} \approx 6, 30 mmol/L.$

Contrôle. $g$ est décroissante de $g (0) = 8$ à $g (5) = 5 + 3 e^{- 2} \approx 5, 41$ . La moyenne doit être comprise entre ces deux valeurs : $5, 41 \leq 6, 30 \leq 8$ . C'est le cas.

Une glycémie moyenne de $6, 3$ mmol/L sur les cinq heures postprandiales reste dans la zone habituellement considérée comme normale ; c'est le pic initial, à $8$ mmol/L, qui intéresse d'abord le diabétologue. Moyenne et maximum ne disent pas la même chose.

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