Problème — Un logement équipé de panneaux solaires

• Énergie produite. En développant, $p(t)=3-\frac{(t-13{)}^2}{12}$, dont une primitive est $P(t)=3t-\frac{(t-13{)}^3}{36}$. Donc

$${\int }_7^{19}p(t)\mathrm{d}t=\left(57-\frac{216}{36}\right)-\left(21+\frac{216}{36}\right)=(57-6)-(21+6)=51-27=24.$$

La puissance étant en kW et le temps en heures, l'énergie est en kW$\cdot$h, soit $24$ kWh.

• Puissances moyennes.

$${\mu }_{[7;19]}=\frac{24}{19-7}=2\text{ kW},{\mu }_{[0;24]}=\frac{24}{24}=1\text{ kW.}$$

La seconde moyenne, plus faible, tient compte des heures de nuit où la production est nulle : c'est elle qui a un sens pour dimensionner une installation.

• Consommation et bilan. La consommation est constante par morceaux : $9$ heures à $0,4$ kW (de $22$ h à $7$ h) et $15$ heures à $1$ kW. Par la relation de Chasles,

$$E_c=0,4\times 9+1\times 15=3,6+15=18,6\text{ kWh.}$$

Le bilan net vaut $24-18,6=5,4$ kWh : le logement produit, sur la journée, $5,4$ kWh de plus qu'il ne consomme.

• Fenêtre d'excédent. Entre $7$ h et $19$ h la consommation vaut $1$ kW. On résout $p(t)=1$ :

$$3-\frac{(t-13{)}^2}{12}=1⟺(t-13{)}^2=24⟺t=13\pm 2\sqrt{6}.$$

Or $2\sqrt{6}\approx 4,899$, donc l'excédent court de $t_1\approx 8,10$ à $t_2\approx 17,90$, c'est-à-dire d'environ 8 h 06 à 17 h 54.

• Exportée et importée. L'énergie exportée est l'aire comprise entre la courbe de production et la droite $y=1$ sur $[t_1;t_2]$ :

$$E_{\text{exp}}={\int }_{t_1}^{t_2}(p(t)-1)\mathrm{d}t={\left[2t-\frac{(t-13{)}^3}{36}\right]}_{13-2\sqrt{6}}^{13+2\sqrt{6}}=8\sqrt{6}-\frac{8\sqrt{6}}{3}=\frac{16\sqrt{6}}{3}\approx 13,06\text{ kWh.}$$

L'énergie importée s'en déduit, puisque bilan net $=$ exportée $-$ importée :

$$E_{\text{imp}}=13,06-5,4=7,66\text{ kWh.}$$

Le bilan net seul ne les donne pas : c'est une aire algébrique, où les excédents et les déficits se compensent. Pour les séparer, il faut découper aux instants où $p-c$ change de signe — exactement le raisonnement de la section sur les fonctions de signe quelconque.

Le logement est « à énergie positive » sur la journée, et pourtant il achète $7,66$ kWh au réseau et lui en revend $13,06$. C'est le problème central du photovoltaïque domestique : la production et la consommation ne tombent pas aux mêmes heures. Un ballon d'eau chaude piloté aux heures d'excédent, ou une batterie de quelques kWh, transformerait une partie de ces $13,06$ kWh exportés — payés bien moins cher qu'ils ne sont rachetés — en autoconsommation.