Surplus du consommateur et du producteur — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 7)

Surplus du consommateur et du producteur

Intégration · niveau 1 (application)

Énoncé

Surplus du consommateur et du producteur.

Sur un marché, la courbe de demande est $D (q) = 60 - 2 q$ et la courbe d'offre est $S (q) = 10 + 0, 5 q$ , où $q$ est la quantité en milliers d'unités et les prix sont en euros.

Déterminer la quantité $q^{*}$ et le prix $p^{*}$ d'équilibre.
Calculer le surplus du consommateur, aire comprise entre la courbe de demande et la droite $p = p^{*}$ sur $[0; q^{*}]$ .
Calculer le surplus du producteur, aire comprise entre la droite $p = p^{*}$ et la courbe d'offre.
Que vaut le surplus total ? L'interpréter.

Corrigé

Équilibre. On résout $D (q) = S (q)$ :

$60 - 2 q = 10 + 0, 5 q ⟺ 50 = 2, 5 q ⟺ q^{*} = 20,$

et alors $p^{*} = 60 - 40 = 20$ euros (on vérifie $S (20) = 10 + 10 = 20$ ).

Surplus du consommateur. La courbe de demande est au-dessus de la droite $p = 20$ sur $[0; 20]$ , donc

$S_{c} = \int_{0}^{20} (60 - 2 q - 20) d q = \int_{0}^{20} (40 - 2 q) d q = [40 q - q^{2}]_{0}^{20} = 800 - 400 = 400.$

Surplus du producteur. Cette fois c'est la droite qui est au-dessus de la courbe d'offre :

$S_{p} = \int_{0}^{20} (20 - 10 - 0, 5 q) d q = [10 q - 0, 25 q^{2}]_{0}^{20} = 200 - 100 = 100.$

Surplus total. $S_{c} + S_{p} = 500$ , soit $500$ milliers d'euros, c'est-à-dire $500000$ euros.

Ce nombre mesure le gain que l'échange procure à l'ensemble des participants : les acheteurs paient moins qu'ils n'étaient prêts à payer, les vendeurs reçoivent plus qu'ils n'exigeaient. On aurait pu conclure sans intégrale — les deux domaines sont des triangles — mais la méthode reste valable pour des courbes quelconques, ce qui n'est pas le cas de la formule de l'aire du triangle.