Surplus du consommateur et du producteur

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 7 — Intégration

Énoncé

Surplus du consommateur et du producteur.

Sur un marché, la courbe de demande est $D (q) = 60 - 2 q$ et la courbe d'offre est $S (q) = 10 + 0, 5 q$ , où $q$ est la quantité en milliers d'unités et les prix sont en euros.

Déterminer la quantité $q^{*}$ et le prix $p^{*}$ d'équilibre.
Calculer le surplus du consommateur, aire comprise entre la courbe de demande et la droite $p = p^{*}$ sur $[0; q^{*}]$ .
Calculer le surplus du producteur, aire comprise entre la droite $p = p^{*}$ et la courbe d'offre.
Que vaut le surplus total ? L'interpréter.

Corrigé

Équilibre. On résout $D (q) = S (q)$ :

$60 - 2 q = 10 + 0, 5 q ⟺ 50 = 2, 5 q ⟺ q^{*} = 20,$

et alors $p^{*} = 60 - 40 = 20$ euros (on vérifie $S (20) = 10 + 10 = 20$ ).

Surplus du consommateur. La courbe de demande est au-dessus de la droite $p = 20$ sur $[0; 20]$ , donc

$S_{c} = \int_{0}^{20} (60 - 2 q - 20) d q = \int_{0}^{20} (40 - 2 q) d q = [40 q - q^{2}]_{0}^{20} = 800 - 400 = 400.$

Surplus du producteur. Cette fois c'est la droite qui est au-dessus de la courbe d'offre :

$S_{p} = \int_{0}^{20} (20 - 10 - 0, 5 q) d q = [10 q - 0, 25 q^{2}]_{0}^{20} = 200 - 100 = 100.$

Surplus total. $S_{c} + S_{p} = 500$ , soit $500$ milliers d'euros, c'est-à-dire $500000$ euros.

Ce nombre mesure le gain que l'échange procure à l'ensemble des participants : les acheteurs paient moins qu'ils n'étaient prêts à payer, les vendeurs reçoivent plus qu'ils n'exigeaient. On aurait pu conclure sans intégrale — les deux domaines sont des triangles — mais la méthode reste valable pour des courbes quelconques, ce qui n'est pas le cas de la formule de l'aire du triangle.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.