Un bilan de retenue d'eau

• Signe. $f(t)=(t-1)(t-4)$, trinôme de racines $1$ et $4$ et de coefficient dominant positif : $f$ est positive sur $[0;1]$, négative sur $[1;4]$, positive sur $[4;5]$. La retenue se remplit le premier mois, se vide pendant trois mois, se remplit à nouveau le dernier.
• Bilan sur cinq mois. Une primitive est $F(t)=\frac{t^3}{3}-\frac{5t^2}{2}+4t$, donc

$${\int }_0^{5}f(t)\mathrm{d}t=F(5)-F(0)=\frac{125}{3}-\frac{125}{2}+20=-\frac{5}{6}\approx -0,83.$$

La retenue a perdu environ $0,83$ million de mètres cubes en cinq mois : c'est le bilan net, et il est négatif.

• Aire géométrique. On découpe aux racines :

$$F(0)=0,F(1)=\frac{11}{6},F(4)=-\frac{8}{3},F(5)=-\frac{5}{6},$$

d'où

$${\int }_0^{1}f=\frac{11}{6},{\int }_1^{4}f=-\frac{27}{6}=-\frac{9}{2},{\int }_4^{5}f=\frac{11}{6}.$$

On vérifie $\frac{11}{6}-\frac{27}{6}+\frac{11}{6}=-\frac{5}{6}$. L'aire géométrique est la somme des valeurs absolues :

$$\mathcal{A}=\frac{11}{6}+\frac{27}{6}+\frac{11}{6}=\frac{49}{6}\approx 8,17.$$

Le bilan est de $-0,83$, l'aire de $8,17$ : dix fois plus. Autrement dit, la retenue a « respiré » près de dix fois plus qu'elle n'a réellement varié. Le premier nombre intéresse le gestionnaire du stock, le second dimensionne les ouvrages, qui doivent encaisser les mouvements et pas seulement le solde.