Un bilan de retenue d'eau — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 7)

Un bilan de retenue d'eau

Intégration · niveau 2

Énoncé

Un bilan de retenue d'eau.

Dans une retenue d'eau, la différence entre les apports et les prélèvements, en millions de mètres cubes par mois, est modélisée sur $[0; 5]$ (en mois) par

$f (t) = t^{2} - 5 t + 4.$

Étudier le signe de $f$ sur $[0; 5]$ et l'interpréter.
Calculer $\int_{0}^{5} f (t) d t$ et dire ce que ce nombre représente.
Calculer l'aire géométrique totale comprise entre la courbe et l'axe des abscisses. En quoi diffère-t-elle du résultat précédent ?

Corrigé

Signe. $f (t) = (t - 1) (t - 4)$ , trinôme de racines $1$ et $4$ et de coefficient dominant positif : $f$ est positive sur $[0; 1]$ , négative sur $[1; 4]$ , positive sur $[4; 5]$ . La retenue se remplit le premier mois, se vide pendant trois mois, se remplit à nouveau le dernier.
Bilan sur cinq mois. Une primitive est $F (t) = \frac{t ^{3}}{3} - \frac{5 t ^{2}}{2} + 4 t$ , donc

$\int_{0}^{5} f (t) d t = F (5) - F (0) = \frac{125}{3} - \frac{125}{2} + 20 = - \frac{5}{6} \approx - 0, 83.$

La retenue a perdu environ $0, 83$ million de mètres cubes en cinq mois : c'est le bilan net, et il est négatif.

Aire géométrique. On découpe aux racines :

$F (0) = 0, F (1) = \frac{11}{6}, F (4) = - \frac{8}{3}, F (5) = - \frac{5}{6},$

d'où

$\int_{0}^{1} f = \frac{11}{6}, \int_{1}^{4} f = - \frac{27}{6} = - \frac{9}{2}, \int_{4}^{5} f = \frac{11}{6} .$

On vérifie $\frac{11}{6} - \frac{27}{6} + \frac{11}{6} = - \frac{5}{6}$ . L'aire géométrique est la somme des valeurs absolues :

$A = \frac{11}{6} + \frac{27}{6} + \frac{11}{6} = \frac{49}{6} \approx 8, 17.$

Le bilan est de $- 0, 83$ , l'aire de $8, 17$ : dix fois plus. Autrement dit, la retenue a « respiré » près de dix fois plus qu'elle n'a réellement varié. Le premier nombre intéresse le gestionnaire du stock, le second dimensionne les ouvrages, qui doivent encaisser les mouvements et pas seulement le solde.