Une fonction définie par une intégrale

Une fonction définie par une intégrale.

On considère la fonction $F$ définie sur $[0;+\infty [$ par

$$F(x)={\int }_0^x{e}^{-t^2}\mathrm{d}t.$$

Aucune primitive de $t\mapsto e^{-t^2}$ ne s'écrit avec les fonctions usuelles.

• Justifier que $F$ est dérivable, calculer $F^{\prime }(x)$ et en déduire le sens de variation de $F$. Que vaut $F(0)$ ?
• Étudier la convexité de $F$ sur $[0;+\infty [$.
• En comparant $e^{-t^2}$ à $1$ puis à $e^{-1}$ sur $[0;1]$, encadrer $F(1)$.
• Montrer que, pour $t\ge 1$, $e^{-t^2}\le e^{-t}$. En déduire que, pour tout $x\ge 1$, $F(x)\le F(1)+e^{-1}$.
• On admet que $F$ admet une limite $\ell$ en $+\infty$. Montrer que $\ell \le 1+e^{-1}$.