Attendre un donneur compatible — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 8)

Attendre un donneur compatible

Lois discrètes · niveau 1 (application)

Énoncé

Attendre un donneur compatible.

La probabilité qu'un donneur pris au hasard dans un registre soit compatible avec un receveur donné est $0, 15$ . On examine les donneurs les uns après les autres, indépendamment, jusqu'à en trouver un compatible. Soit $X$ le rang du premier donneur compatible.

Justifier que $X$ suit une loi géométrique et donner $P (X = k)$ .
Calculer $P (X = 1)$ et $P (X = 4)$ .
Calculer $P (X \leq 3)$ .
Calculer $P (X > 5)$ et interpréter.
Calculer $E (X)$ .

Corrigé

Le modèle. Chaque examen est une épreuve à deux issues (compatible / non compatible), de probabilité de succès $p = 0, 15$ , et les examens sont indépendants. On répète jusqu'au premier succès : $X$ suit la loi géométrique de paramètre $0, 15$ , avec

$P (X = k) = 0, 8 5^{k - 1} \times 0, 15 (k \geq 1) .$

Deux valeurs. $P (X = 1) = 0, 15$ , et

$P (X = 4) = 0, 8 5^{3} \times 0, 15 \approx 0, 0921.$

Trois premiers essais. Il est plus court de passer par le contraire, $(X \leq 3)$ étant le contraire de $(X > 3)$ :

$P (X \leq 3) = 1 - P (X > 3) = 1 - 0, 8 5^{3} \approx 1 - 0, 6141 = 0, 3859.$

Au-delà de cinq. $P (X > 5) = 0, 8 5^{5} \approx 0, 4437$ : dans près d'un cas sur deux, cinq examens ne suffisent pas.
Espérance. $E (X) = \frac{1}{0 , 15} = \frac{20}{3} \approx 6, 67$ donneurs.

Il faut donc examiner en moyenne un peu moins de sept donneurs — mais « en moyenne » ne veut pas dire « toujours » : une fois sur deux environ, il en faudra plus de cinq.