Attendre une carte rare

Attendre une carte rare.

Une carte rare se trouve dans $5\%$ des paquets d'une collection, indépendamment d'un paquet à l'autre. Un collectionneur achète des paquets un par un jusqu'à trouver la carte. On note $X$ le rang du paquet qui la contient.

• Donner $E(X)$ et calculer $P(X\le 20)$. Commenter.
• Montrer que $P(X\le n)=1-0,95^n$ pour tout entier $n\ge 1$.
• Déterminer le plus petit $n$ tel que $P(X\le n)\ge 0,5$, puis le plus petit $n$ tel que $P(X\le n)\ge 0,95$.
• Un ami achète d'un coup $n$ paquets et note $Y$ le nombre de cartes rares obtenues. Quelle est la loi de $Y$ ? Montrer que $P(Y\ge 1)=P(X\le n)$, et expliquer cette égalité sans calcul.