Construire et lire le triangle de Pascal — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 8)

Construire et lire le triangle de Pascal

Lois discrètes · niveau 2

Énoncé

Construire et lire le triangle de Pascal.

Construire les lignes $n = 0$ à $n = 8$ du triangle de Pascal.
Lire $(3 8)$ , puis donner $(5 8)$ sans nouveau calcul.
Compléter les lignes $n = 9$ puis $n = 10$ , et en déduire $(4 10)$ .
Sans construire la ligne $20$ , calculer $(2 20)$ et $(18 20)$ .

Corrigé

Construction. Des $1$ aux deux bords, puis chaque case est la somme des deux cases au-dessus :

$n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = 8 11111111112345678136101521281410203556151535701621561728181$

Lecture et symétrie. La ligne $8$ se lit à partir de $k = 0$ : $(3 8) = 56$ . La symétrie $(k n) = (n - k n)$ donne $(5 8) = (3 8) = 56$ : c'est bien la valeur symétrique dans la ligne.
Deux lignes de plus.

$n = 9 n = 10 1191036458412012621012625284210361209451101$

En effet $36 = 8 + 28$ , $84 = 28 + 56$ , $126 = 56 + 70$ , puis $45 = 9 + 36$ , $120 = 36 + 84$ , $210 = 84 + 126$ , $252 = 126 + 126$ . On lit $(4 10) = 210$ .

Sans le triangle. Le coefficient $(2 20)$ compte les chemins à deux succès sur $20$ épreuves : un tel chemin est déterminé par le couple des deux rangs de succès. Il y a $20 \times 19$ façons ordonnées de choisir ces deux rangs, mais chaque paire est comptée deux fois :

$(2 20) = \frac{20 \times 19}{2} = 190,$

et la symétrie donne $(18 20) = (2 20) = 190$ .

La symétrie divise par deux le travail : on ne calcule jamais que la moitié gauche d'une ligne.