Déterminer un intervalle I — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 8)

Déterminer un intervalle

I

Lois discrètes · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Déterminer un intervalle $I$ .

Une machine produit $20 %$ de pièces à retoucher. On en prélève $50$ , et $X$ est le nombre de pièces à retoucher. On dispose des valeurs cumulées

$P (X \leq 4) \approx 0, 0185, P (X \leq 5) \approx 0, 0480, P (X \leq 15) \approx 0, 9692, P (X \leq 16) \approx 0, 9856.$

Donner la loi de $X$ , $E (X)$ et $σ (X)$ .
Déterminer le plus petit entier $a$ tel que $P (X \leq a) > 0, 025$ , puis le plus petit entier $b$ tel que $P (X \leq b) \geq 0, 975$ .
En déduire un intervalle $I$ tel que $P (X \in I) \geq 0, 95$ , et calculer cette probabilité.
Que conclure si un prélèvement donne $22$ pièces à retoucher ?

$E (X) = 50 \times 0, 2 = 10, σ (X) = 50 \times 0, 2 \times 0, 8 = 8 \approx 2, 83.$

Les deux bornes. Pour $a$ : $P (X \leq 4) \approx 0, 0185$ n'est pas supérieur à $0, 025$ , tandis que $P (X \leq 5) \approx 0, 0480$ l'est. Donc $a = 5$ . Pour $b$ : $P (X \leq 15) \approx 0, 9692 < 0, 975$ , alors que $P (X \leq 16) \approx 0, 9856 \geq 0, 975$ . Donc $b = 16$ .
L'intervalle. $I = [5; 16]$ , et

$P (X \in I) = P (X \leq 16) - P (X \leq 4) \approx 0, 9856 - 0, 0185 = 0, 9671,$

qui est bien supérieur à $0, 95$ .

Une valeur hors de $I$ . La valeur $22$ n'appartient pas à $[5; 16]$ . Si la machine fonctionnait au taux annoncé de $20 %$ , un tel écart ne surviendrait qu'avec une probabilité inférieure à $0, 05$ : c'est un signal fort en faveur d'un déréglage, et l'on arrête la production pour contrôle.

On remarquera que $I = [5; 16]$ n'est pas exactement symétrique autour de $E (X) = 10$ : la loi binomiale n'est symétrique que pour $p = 0, 5$ .