Reconnaître la loi

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 8 — Lois discrètes

Énoncé

Reconnaître la loi.

Dans chacune des situations suivantes, indiquer la loi suivie par la variable aléatoire décrite, en précisant ses paramètres — ou expliquer pourquoi aucune des lois du chapitre ne convient.

On interroge $200$ personnes tirées au hasard dans une grande ville, où $12 %$ des habitants déclarent avoir déjà donné leur sang. $X$ est le nombre de personnes interrogées ayant déjà donné leur sang.
On tire au sort le numéro de l'un des $20$ patients d'un essai clinique pour une visite de contrôle. $X$ est le numéro tiré.
Un composant est sollicité cycle après cycle et tombe en panne à chaque cycle avec la probabilité $0, 02$ , indépendamment des cycles précédents. $X$ est le rang du cycle de la première panne.
On observe si un patient donné répond ou non à un traitement, qui est efficace dans $60 %$ des cas. $X$ vaut $1$ s'il répond, $0$ sinon.
Une urne contient $10$ boules dont $3$ rouges. On en tire $4$ sans remise et $X$ est le nombre de boules rouges obtenues.

Corrigé

Binomiale. Chaque personne interrogée donne une épreuve à deux issues, de probabilité de succès $0, 12$ ; le nombre d'interrogations est fixé à $200$ ; la ville étant grande, les réponses sont assimilées à des épreuves indépendantes. Donc $X \sim B (200; 0, 12)$ .
Uniforme sur ${1, \dots, 20}$ : chaque patient a la même probabilité $\frac{1}{20}$ d'être tiré.
Géométrique de paramètre $0, 02$ : on répète la même épreuve jusqu'au premier succès (ici, la panne), et c'est le rang de ce succès que l'on observe.
Bernoulli de paramètre $0, 6$ : une seule épreuve, deux issues, $X$ à valeurs dans ${0; 1}$ .
Aucune des trois. Le tirage est sans remise : après une boule rouge il n'en reste que $2$ sur $9$ , la probabilité de succès change d'une épreuve à l'autre. Les épreuves ne sont ni identiques ni indépendantes.

La distinction entre (a) et (e) est exactement celle du piège du cours : c'est la remise — ou la taille de la population — qui autorise le modèle binomial.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.