Répondre au hasard à un QCM

Répondre au hasard à un QCM.

Un QCM comporte $10$ questions indépendantes, chacune avec $4$ réponses proposées dont une seule est juste. Un candidat répond entièrement au hasard. On note $X$ le nombre de bonnes réponses.

• Justifier que $X$ suit une loi binomiale, et donner $E(X)$ et $\sigma (X)$.
• Calculer $P(X=0)$. La calculatrice donne $P(X\le 4)\approx 0,9219$ : en déduire la probabilité d'avoir au moins la moitié des bonnes réponses.
• Le barème donne $2$ points par bonne réponse et retire $0,5$ point par mauvaise réponse. Exprimer la note $N$ en fonction de $X$, puis montrer que $E(N)=2,5E(X)-5$. Le hasard est-il récompensé ?
• Quelle pénalité $c$ par mauvaise réponse rendrait l'espérance de la note nulle ?