Tester les échantillons par groupes (santé publique)

Tester les échantillons par groupes (santé publique).

Pour dépister une infection dont la prévalence est de $2\%$, un laboratoire mélange les prélèvements de $k$ personnes ($k\ge 2$) et teste le mélange. Si le test du mélange est négatif, les $k$ personnes sont déclarées saines ($1$ seul test) ; s'il est positif, on teste ensuite chacune des $k$ personnes séparément ($k+1$ tests au total). On suppose les personnes infectées indépendamment les unes des autres, et le test parfait.

• Montrer que le mélange est négatif avec la probabilité $0,98^k$.
• On note $T$ le nombre de tests utilisés pour un groupe. Donner la loi de $T$, et montrer que $E(T)=1+k\left(1-0,98^k\right)$.
• En déduire le nombre moyen de tests par personne, $f(k)=\frac{1}{k}+1-0,98^k$.
• Écrire un programme Python qui affiche $f(k)$ pour $k$ de $2$ à $12$. Quelle taille de groupe faut-il choisir ? Quelle économie réalise-t-on par rapport au test individuel ?