Un essai clinique, en probabilités cumulées — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 8)

Un essai clinique, en probabilités cumulées

Lois discrètes · niveau 1 (application)

Énoncé

Un essai clinique, en probabilités cumulées.

Un traitement guérit $70 %$ des patients. On l'administre à $15$ patients dont les évolutions sont indépendantes ; $X$ est le nombre de guérisons.

Donner la loi de $X$ , puis $E (X)$ et $σ (X)$ .
Calculer $P (X = 12)$ .
La calculatrice donne $P (X \leq 10) \approx 0, 4845$ et $P (X \leq 11) \approx 0, 7031$ . En déduire $P (X \geq 12)$ .
Est-il surprenant d'observer $12$ guérisons ou plus ?

Corrigé

Le modèle. Chaque patient donne une épreuve à deux issues, succès $=$ guérison, $p = 0, 7$ ; il y a $n = 15$ patients, d'évolutions indépendantes : $X \sim B (15; 0, 7)$ . Donc

$E (X) = 15 \times 0, 7 = 10, 5, σ (X) = 15 \times 0, 7 \times 0, 3 \approx 1, 775.$

Une valeur exacte. Avec $(12 15) = 455$ :

$P (X = 12) = 455 \times 0, 7^{12} \times 0, 3^{3} \approx 0, 1700.$

Passage au contraire.

$P (X \geq 12) = 1 - P (X \leq 11) \approx 1 - 0, 7031 = 0, 2969.$

Interprétation. Une telle observation survient environ trois fois sur dix : elle est parfaitement banale.

On notera l'usage de $P (X \leq 11)$ , et non de $P (X \leq 12)$ : $X \geq 12$ est le contraire de $X \leq 11$ . La valeur $P (X \leq 10) \approx 0, 4845$ n'était donnée que pour tenter le lecteur pressé.