Un lot de flacons accepté ou rejeté — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 8)

Un lot de flacons accepté ou rejeté

Lois discrètes · niveau 1 (application)

Énoncé

Un lot de flacons accepté ou rejeté.

Une chaîne pharmaceutique produit en très grande série des flacons dont $5 %$ sont non conformes. Le contrôle prélève $12$ flacons au hasard et rejette le lot si au moins deux d'entre eux sont non conformes. Soit $X$ le nombre de flacons non conformes du prélèvement.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale, dont on donnera les paramètres.
Calculer $P (X = 0)$ et $P (X = 1)$ .
En déduire la probabilité que le lot soit rejeté.
Calculer $E (X)$ et $σ (X)$ , et interpréter l'espérance.

Corrigé

Le modèle. Pour chaque flacon prélevé, l'épreuve « le flacon est-il non conforme ? » n'a que deux issues, et l'on appelle succès le fait qu'il le soit, de probabilité $p = 0, 05$ . Le nombre de prélèvements est fixé à $n = 12$ , et la production étant très importante, retirer douze flacons ne modifie pas sensiblement la proportion : les épreuves sont assimilées à des épreuves indépendantes de même paramètre. Donc $X \sim B (12; 0, 05)$ .
Deux valeurs.

$P (X = 0) = (0 12) 0, 0 5^{0} 0, 9 5^{12} = 0, 9 5^{12} \approx 0, 5404,$

$P (X = 1) = (1 12) 0, 0 5^{1} 0, 9 5^{11} = 12 \times 0, 05 \times 0, 9 5^{11} \approx 0, 3413.$

Rejet. Le lot est rejeté si $X \geq 2$ , événement contraire de $X \leq 1$ :

$P (X \geq 2) = 1 - P (X = 0) - P (X = 1) \approx 1 - 0, 5404 - 0, 3413 = 0, 1184.$

Indicateurs.

$E (X) = 12 \times 0, 05 = 0, 6, σ (X) = 12 \times 0, 05 \times 0, 95 \approx 0, 755.$

En moyenne, $0, 6$ flacon non conforme par prélèvement — soit à peu près trois flacons pour cinq contrôles. Malgré cette moyenne inférieure à $1$ , le lot est rejeté près d'une fois sur huit : la moyenne ne dit rien à elle seule de la fréquence des rejets.