Un signal envoyé jusqu'à réception

Un signal envoyé jusqu'à réception.

Un capteur envoie un message à une station ; chaque envoi parvient à la station avec la probabilité $0,8$, indépendamment des précédents. Le capteur renvoie le message jusqu'à ce qu'il soit reçu. On note $X$ le rang de l'envoi réussi.

• Justifier que $X$ suit une loi géométrique ; calculer $P(X=1)$ et $P(X=3)$.
• Calculer $P(X>4)$ et $E(X)$.
• Les deux premiers envois ont échoué. Quelle est la probabilité qu'il faille plus de quatre envois au total ? Comparer à une probabilité calculée plus haut.