Deux composants, en série ou en parallèle (fiabilité)

Deux composants, en série ou en parallèle (fiabilité).

Un appareil comporte deux composants identiques, dont les durées de vie $T_1$ et $T_2$, en heures, suivent la loi exponentielle de paramètre $\lambda =0,001$ h${}^{-1}$. On suppose que les événements $(T_1>t)$ et $(T_2>t)$ sont indépendants pour tout $t\ge 0$.

• Calculer la probabilité qu'un composant fonctionne encore au bout de $500$ heures.
• Montage en série : l'appareil tombe en panne dès qu'un composant lâche. On note $S$ sa durée de vie. Montrer que $P(S>t)=e^{-2\lambda t}$. Quelle est la loi de $S$ ? Donner $E(S)$ et $P(S>500)$.
• Montage en parallèle : l'appareil fonctionne tant qu'un composant au moins fonctionne. On note $D$ sa durée de vie. Montrer que $P(D>t)=2e^{-\lambda t}-e^{-2\lambda t}$, et calculer $P(D>500)$.
• Classer les trois probabilités de fonctionner au-delà de $500$ heures, et conclure.