Deux modèles pour la même attente moyenne

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 9 — Lois à densité

Énoncé

Deux modèles pour la même attente moyenne.

Un usager attend en moyenne $10$ minutes. Deux modèles sont en concurrence : le bus, dont le temps d'attente $B$ suit la loi uniforme sur $[0; 20]$ ; le taxi, dont le temps d'attente $T$ suit la loi exponentielle d'espérance $10$ .

Vérifier que $E (B) = E (T) = 10$ et comparer les écarts types.
Comparer $P (B \leq 5)$ et $P (T \leq 5)$ .
Comparer $P (B \geq 20)$ et $P (T \geq 20)$ .
Lequel des deux modèles est le plus risqué pour un usager pressé ?

Corrigé

Mêmes moyennes, dispersions différentes. $E (B) = \frac{0 + 20}{2} = 10$ et $E (T) = \frac{1}{λ} = 10$ avec $λ = 0, 1$ . En revanche

$σ (B) = \frac{20}{2 3} = \frac{10}{3} \approx 5, 77 et σ (T) = \frac{1}{λ} = 10.$

Attente courte.

$P (B \leq 5) = \frac{5}{20} = 0, 25, P (T \leq 5) = 1 - e^{- 0, 5} \approx 0, 393.$

Le taxi arrive plus souvent très vite.

Attente longue.

$P (B \geq 20) = 0 et P (T \geq 20) = e^{- 2} \approx 0, 135.$

Le bus ne peut pas faire attendre plus de $20$ minutes ; le taxi, si, une fois sur sept environ.

Le plus risqué. C'est le taxi : même espérance, mais un écart type presque double et surtout aucune borne supérieure.

Deux lois de même espérance peuvent conduire à des décisions opposées. Comparer des moyennes ne suffit jamais : il faut regarder la dispersion et les queues de distribution.

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